Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
'''Лемма о разрастании'''<ref>Лемму также часто называют ''леммой (лемма о накачке, англ. ''.</ref>(Pumping pumping lemma'') — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярным]].
== Лемма о разрастании ==
Рассмотрим следующий язык: <tex>L= \{ a^{i}b^{j}c^{k} \mid i \ne 1, j \geqslant 0, k \geqslant 0\} \cup \{ ab^{i}c^{i} \mid i \geqslant 1\}</tex>
'''Докажем, что он нерегулярный.''' Для этого рассмотрим вспомогательный язык <tex>L'= \{ ab^{i}c^{i} \mid i \ge geqslant 1\}</tex> и докажем его нерегулярность. Воспользуемся предложенным в предыдущем пункте подходом. Для фиксированного <tex>n</tex> выберем слово <tex>\omega=ab^nc^n</tex>. Заметим, что при любом разбиении <tex>\omega</tex> на <tex>x, y, z</tex> слово <tex> y </tex> не пусто (по условию леммы) и содержит только символы <tex> a </tex> и <tex> b </tex> (согласно выбранному слову и условию из леммы <tex>|xy|\leqslant n</tex>). Это означает, что при <tex> k = 0 </tex> слово <tex>xy^kz</tex> либо не содержит символа <tex> a </tex>, либо количество символов <tex> b</tex> меньше <tex> n </tex>. В обоих случаях полученное слово не принадлежит языку. Значит язык <tex> L' </tex> нерегулярный.
Предположим, что язык <tex> L </tex> регулярный. Заметим, что <tex>L' = L \cap \{ab^{*}c^{*}\} </tex>. В силу того, что пересечение регулярных языков регулярно, имеем в правой части равенства регулярный язык. При этом в левой части стоит язык, нерегулярность которого была доказана ранее. Значит наше предположение неверно, и язык <tex> L </tex> нерегулярный.
'''Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании.''' Выберем в лемме <tex> n = 2 </tex>. Это означает, что длина рассматриваемых слов не меньше <tex> 2 </tex> (иными словами <tex> i + j + k \geqslant 2 \,</tex>). Для каждого случая значений <tex> i, j, k </tex> выберем соответствующие слова <tex> x, y </tex> и <tex> z </tex> из леммы. Легко проверить, что в каждом из приведенных ниже случаев условие леммы выполняется:
# <tex> i = 0, j = 0, k \geqslant 2 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=c^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = c, z = c^{k-1}</tex>.
# <tex> i = 0, j \geqslant 1, k \geqslant 0 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = b, z = b^{j-1}c^k</tex>.
'''Докажем, что он нерегулярный.''' Предположим, что некоторая строка языка <tex>L</tex> имеет длину <tex>n=5</tex>. Поскольку в алфавите всего четыре символа, то как минимум два символа из пяти в этой строке будут одинаковыми, и они разделены максимум тремя символами:
:Если дубликаты разделены нулями или единицами, накачаем один из двух остальных символов в строке, которые не повлияют на подстроку, которая содержит дубликаты,.:Если дубликаты разделены двойками или тройками, накачаем <tex>2</tex> символа, разделяющих их. Накачка также уменьшает или увеличивает результат во время создания подстроки размера <tex>3</tex>, которая содержит <tex>2</tex> продублированных символа.
Второе условие языка <tex>L</tex> обеспечивает, что <tex>L</tex> — нерегулярный, то есть в нем бесконечное число строк, которые принадлежат <tex>L</tex>, но не могут быть получены путям разрастания некоторой меньшей строки в <tex>L</tex>.
== См. также ==
* [[Лемма о разрастании для КС-грамматик]]
* [[Интерпретация булевых формул Булевые формулы с кванторами как игр игры для двух игроков]] == Примечания Источники информации ==<references* [http://en.wikipedia.org/>== Источники ==wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]
* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 144. — ISBN 5-8459-0261-4
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
[[Категория: Свойства конечных автоматов]]
Анонимный участник

Навигация