Изменения

<b>Евклидово кольцо</b> - [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцо]], в котором существует алгоритм евклидаЕвклида.

<b>Евклидово кольцо</b> - это [[Делители нуля, области целостности|область целостности]] <tex>R</tex>, для которой определена евклидова норма <tex>\|\cdot \| :R \rightarrow \mathbb{N}\cup\{-\infty\}</tex>, причем <tex>\|a\|=-\infty \Leftrightarrow a=0</tex>, для <tex>\forall a,b\in R \exists</tex> представление <tex>a=b\cdot q + r, для которого \|r\|<\|db\|</tex>

#<tex>a\cdot b\vdots p \Rightarrow a\vdots p \lor b\vdots p</tex><br>Пусть <tex>gcd(a,p)=1 \Rightarrow 1=a\cdot x+p\cdot y; x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow b=a\cdot b\cdot x + p\cdot b\cdot y \vdots p \Rightarrow b\vdots p</tex>#Если а и b - не [[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов|обратимы]], то <tex>\|a\cdot b\|>\|b\|</tex><br> Пусть <tex>b=k\cdot a\cdot b+r;r\neq 0;\|r\|<\|a\cdot b\|\Rightarrow r=b-k\cdot a\cdot b\Rightarrow \|r\|=\|b\cdot(1-k\cdot a)\|>\|b\|</tex>