Задача о коммивояжере (англ. '''travelling - salesman problem''') - это задача, в которой определяется кратчайший замкнутый путь, соединяющий заданное множество, которое состоит из <tex> N </tex> точек на плоскости. == Формулировка задачи ==Коммивояжер должен посетить <tex> N </tex> городов, побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, чтобы общая длина его пути была наименьшей? == Представление == Чтобы использовать математические процессы для решения, реальная ситуация должна отображаться сначала простой моделью. Задачу коммивояжера можно смоделировать с помощью графа. При этом вершины можно считать городами, в то время как каждая дуга <tex>(i, j) </tex> описывает связь между этими 2 вершинами <tex>i</tex> и <tex>j</tex>. Каждая дуга имеет свой вес <tex> с(i, j) </tex>. Поездка - это цикл в этом графе, который проходит через каждую вершину ровно один раз. Целью является найти более короткую поездку. == Варианты решения == ==== Решение перебором ==== Можно предположить, что для решения задачи необходимо просто сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин полного графа, подсчитать для перестановки длину маршрута и выбрать минимальный. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>. Так же известно, что задача о коммивояжере относится к NP-полным задачам. ==== Динамическое программирование по подмножествам ==== Задача о коммивояжере сводится к поиску кратчайшего гамильтонова пути в графе. Смоделируем данную задачу при помощи графа. При этом вершины можно считать городами, а ребра - дорогами. Пусть в графе <tex> P = (V, E)</tex> <tex> N </tex>вершин и каждое ребро <tex>(i, j) \in E </tex> имеет некоторый вес <tex> d(i, j)</tex>. Необходимо найти гамильтонов путь, сумма весов по ребрам которого минимальна. Пусть множество элементов занумеровано и закодировано последовательностью битов длины <tex> N </tex>. Элементами множества будут являться вершины графа. Для простоты мы будем считать, что граф является неориентированным. Пусть m - множество не посещенных вершин. Первоначальной стартовой позицией примем вершину с индексом <tex> 0 </tex>. Пусть <tex> dp#перенаправление [i][m] </tex> обозначает длину кратчайшего гамильтонова пути подмножества вершин <tex>pos </tex>, заканчивающегося в вершине <tex> i </tex>. Динамика считается по следующим соотношениям: Начинаем с нулевой вершины: <tex> dp[i][m] = 0 </tex>, если <tex> m_i = 0 </tex>; Если же маска равна <tex>0</tex> и все вершины посещены, то ответ <tex>0</tex>. Иначе идем дальше. Тогда: <tex> dp[i][m] = min_{m_i=1,(j, i)\in E} \begin{Bmatrix} d(j, i) + dp[j][m - 2^j] \end{Bmatrix}</tex> Теперь искомая минимальная длина пути <tex> p_{min} = min_{i \in [0...n-1]}\begin{Bmatrix}dp[2^n - 1][i] \end{Bmatrix} </tex>. Если <tex> p_{min} = \mathcal {1} </tex>, то гамильтонова пути в графе, нет. Восстановить сам путь несложно. Пусть минимальный путь заканчивается в вершине <tex>i</tex>. Тогда <tex> j \neq i</tex>, для которого <tex> dp[2^n - 1][iГамильтоновы графы] = dp[2^n - 1 \oplus 2^i][j] + d(j, i) </tex> , является предыдущей вершиной пути. Теперь удалим <tex>i</tex> из множества и только что описанным способом найдем вершину предыдущую к <tex>j</tex>. Продолжая процесс пока не останется одна вершина, мы найдем весь гамильтонов путь. Данное решение требует <tex>O(2n^n)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. == Источники ==''И.В.Романовский'' - Дискретный анализ; ''Корман, Риверст, Лейзерсон, Штайн'' - Алгоритмы: построение и анализ; [http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_коммивояжёра Задача коммивояжёра] [http://de.wikipedia.org/wiki/Problem_des_Handlungsreisenden Problem_des_Handlungsreisenden];
