Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization

Определение

Мультикритериальная оптимизация - это процесс одновременной оптимизации двух или более конфликтующих целевых функций в заданной области определения.

Задача многокритериальной оптимизации

Задача многокритериальной оптимизации формулируется следующим образом:

[math]\min\limits_{\vec{x}}\{f_1(\vec{x}), f_2(\vec x), \dots, f_k(\vec x)\},[/math]

[math]\vec x \in S[/math]

где [math]f_i: R^n \to R[/math] это [math]k[/math] ([math]k\ge 2[/math]) целевых функций. Векторы решений [math]\vec x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T[/math] Относятся к области определения [math]S[/math].

Задача многокритериальной оптимизации состоит в поиске вектора целевых переменных, удовлетворяющего наложенным ограничениям и оптимизирующего векторную функцию, элементы которой соответствуют целевым функциям.

Критерий оптимальности

Перечислим основные критерии оптимальности

Критерий Парето

Вектор решения [math]\vec x\in S[/math] - оптимальный по Парето, если [math]\not\exists\vec x'\in S[/math]:[math]f_i(\vec x) \le f_i(\vec x')[/math] для всех [math]i=1, \dots, k[/math] и [math]f_i(\vec x) \lt f_i(\vec x')[/math] для хотя бы одного [math]i[/math].

[math]P(S)[/math] - множество оптимальных по Парето решений.

Целевой вектор является оптимальным по Парето, если соответствующий ему вектор из области определения также оптимален по Парето.

[math]P(Z)[/math] - множество оптимальных по Парето целевых векторов.

Множество оптимальных по Парето векторов является подмножеством оптимальных по Парето в слабом смысле векторов. Вектор [math]\vec x'\in S[/math] является слабым оптимумом по Парето тогда, когда не существует вектора [math]\vec x\in S[/math] такого, что [math]f_i(\vec x) \lt f_i(\vec x')[/math] для всех [math]i=1, 2, \dots, k[/math].

Множество оптимальных по Парето решений также называют Парето-фронтом.

Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время

Лексикографический порядок

Если одни целевые функции важнее других, критерий оптимальности можно определить по лексикографическому порядку.

Отношение лексикографического порядка [math]\lt _{\mathrm{lex}}[/math] между векторами [math]\vec a[/math] и [math]\vec b[/math] выполняется, если [math]a_q \lt b_q[/math], где [math]q = min \left\{k : a_k \neq b_k\right\}[/math]. То есть, первая [math]q[/math] компонента вектора [math]\vec a[/math] меньше компоненты вектора [math]\vec b[/math], а компоненты [math]q+1[/math] — уровни (если есть). Лексикографический порядок для случая действительных чисел является линейным.

Вектор [math]\vec x \in X[/math] является лексикографическим решением, если не существует вектора [math]\vec x' \in X[/math], такого, что [math]f(\vec x') \lt _{\mathrm{lex}} f(\vec x)[/math].

Поскольку отношение лексикографического порядка является линейным, можно доказать, что вектор [math]\vec x[/math] является лексикографическим решением, если для всех [math]\vec x' \in X[/math] выполняется:

[math]\vec f(\vec x) \lt _{\mathrm{lex}} \vec f(\vec x').[/math]

Получение оптимальных по Парето решений

Для получения оптимальных по Парето решений используют методы скаляризации. Целевую функцию задачи многокритериальной оптимизации превращают в функцию со скалярным значением.

Функция скаляризации должна удовлетворять следующим условиям.

Пусть [math]F[/math] - функция скаляризации. Если для [math] \forall \vec y^1, \vec y^2 \in \vec f(X)[/math] выполняется:

[math]\vec y^1 \le \vec y^2 \implies F (\vec y^1 ) \lt F (\vec y^2),[/math]

тогда решение [math]\vec x^0[/math], что минимизирует [math]F[/math] до [math]X[/math], является решением по Парето. Если [math]F[/math] сохраняет отношение порядка [math]\lt [/math] в [math]\vec y[/math], то есть, если для произвольных [math]\vec y^1, \vec y^2 \in \vec f(X)[/math] выполняется:

[math]\vec y^1 \lt \vec y^2 \implies F (\vec y^1 ) \lt F (\vec y^2 ),[/math]

тогда решение [math]\vec x^0[/math], что минимизирует [math]F[/math] до [math]X[/math], является слабым по Парето. Если [math]F[/math] непрерывна на [math]\vec y[/math] и [math]\vec x^0[/math] единственная точка минимума [math]F[/math] на [math]X[/math], тогда [math]\vec x^0[/math] является решением по Парето.

Метод взвешенных множителей

[math]F_1(\vec f(\vec x)) = w_1 f_1 (\vec x) + \dots + w_r f_r (\vec x).[/math]

Недостатки: невозможность охватить все оптимальные по Парето точки из множества Парето-фронта. В задачах комбинаторной многокритериальной оптимизации множество целевых значений не является выпуклым, поэтому метод взвешенных сумм не подходит для скаляризации целевых функций для этих задач.

Функция скаляризации Чебышева

[math]F_\infty (\vec f(\vec x)) = \max_{1\leq i \leq r} w_i f_i(\vec x).[/math]

Взвешенная функция скаляризации Чебышева сохраняет отношения [math]\lt [/math] и поэтому минимум [math]F_\infty[/math] является слабым по Парето.

Метод ограничений

В качестве решения задачи принимают компромиссное решение.

Компромиссное решение - эффективное решение, которое обеспечивает одинаковые минимальные взвешенные относительные потери по всем критериям одновременно. Если [math]p_i[/math] - вес нормализованного критерия [math]w_i[/math], то величина [math]p_iw_i(x_a)=s[/math], где [math]x_0[/math] - компромиссное решение, будет постоянна для всех критериев.

Описание алгоритма

1. Задаем вектор предпочтений [math]p=(p_1,p_2,\dots,p_k)[/math];
2. Заменяем все критерии одним [math]s \rightarrow min[/math];
3. К системе ограничений добавляем неравенства [math]p_iw_i(x)\leq s[/math] для каждого из критериев, где [math]p_i[/math] - вес нормализованного критерия [math]w_i[/math];
4. Решаем полученную однокритериальную задачу симплекс-методом

Источники

• Knowles J., Watson R., Corne D. Reducing Local Optima in Single-Objective Problems by Multi-objectivization
• Friedrich T., Neumann F. Foundations of Evolutionary Multi-Objective Optimization