Изменения

'''[[Оптимальный префиксный код с длиной кодового слова не более L бит|Оптимальный префиксный код]] с сохранением порядка''' (англ. ''order-preserving code'', ''alphabetic code''). Пусть у нас есть алфавит <tex> \Sigma </tex>. Каждому символу <tex>c_i </tex> сопоставим его код <tex> p_i </tex>. Кодирование называется оптимальным префиксным с сохранением порядка(алфавитным), если соблюдаются:# Условие порядка {{- --}} <tex> \forall i, j : c_i < c_j \iff p_i < p_j </tex>. То есть, если символ <tex>c_i </tex> лексикографически меньше символа <tex> c_j </tex>, его код также будет [[лексикографический порядок | лексикографически]] меньше, и наоборот.# Условие оптимальности {{- --}} <tex> \sum\limits_{i = 1}^{|\Sigma|} f_i \cdot |p_i| </tex> {{- --}} минимально, где <tex> f_i </tex> {{- --}} частота встречаемости символа <tex> c_i </tex> в тексте, а <tex>|p_i| </tex> {{- --}} длина его кода.

Алгоритм нахождения оптимального префиксного кода с сохранением порядка.Решим задачу, используя ДП на подотрезках. Пусть в ячейке <tex> D[i][j] </tex> хранится минимальная стоимость кодового дерева для отрезка алфавита от <tex> i </tex> до <tex> j</tex>.

Добавочный член <tex>w[i][j] = \sum\limits_{t = i}^{j} f_t </tex> возникает от того что каждым объединением двух подотрезков мы увеличиваем высоту дерева на <tex> 1</tex>, а значит, и длины всех кодов символов <tex> c_i .. c_j </tex> также увеличиваются на <tex> 1</tex>.

Тогда такое ''наибольшее'' <tex> k</tex>, на котором достигается этот минимум, называется точкой разреза для отрезка <tex> [i, ..j] </tex>. Пусть в ячейке <tex> R[i][j] </tex> хранится точка разреза на отрезке <tex> i..j </tex>. Если разрез происходит по какому-то определенному индексу <tex> q </tex> , такой разрез обозначим <tex> D_q[i, ][j] </tex>. Таким образом, получили алгоритм, работающий за <tex> O(n^3) </tex>. Коды каждого символа можно легко получить так же, как в алгоритме Хаффмана {{---}} обходом по построенному дереву. Если доказать монотонность точки разреза, то можно уменьшить асимптотику алгоритма до <tex> O(n^2) </tex>.

Функция <tex> a </tex> удовлетворяет '''неравенству четырехугольника''' (англ. ''quadrangle inequation)'''), если: <tex>\forall i \leq leqslant i' \leq leqslant j \leq leqslant j' : a[i][j] + a[i'][j'] \leq leqslant a[i'][j] + a[i][j']</tex>.

<tex> w </tex> удовлетворяет неравенству четырехугольника.

Заметим, что <tex> w[i][j] = w[i][t] + w[t+1][j] </tex>, так как <tex> w[i][j] </tex> {{- --}} простая арифметическая сумма. Тогда:: <tex> w[i][j] + w[i'][j'] \leq leqslant w[i'][j] + w[i][j']</tex>: <tex> (w[i][i' - 1] + w[i'][j]) + (w[i'][j] + w[j + 1][j']) \leq leqslant (w[i'][j]) + (w[i][i' - 1] + w[i'][j] + w[j + 1][j']) </tex>Получили <tex> 0 \leq leqslant 0 </tex>, что является верным. Лемма доказана.

Если <tex> w </tex> удовлетворяет неравенству четырехугольника и монотонна, то <tex> D </tex> также удовлетворяет неравенству четырехугольника, то есть: <tex>\forall i \leqslant i' \leqslant j \leqslant j' : D[i][j] + D[i'][j'] \leqslant D[i'][j] + D[i][j'] </tex>.

# <tex> i' = j</tex>#: <tex> i < i' = j < j'</tex>. Тогда неравенство четырехугольника сводится к:#: <tex> D[i][j] + D[j][j'] \leq leqslant D[i][j']</tex>#: Пусть <tex> k = R[i][j']</tex>. Получили два симметричных случая:## <tex> k \leq leqslant j</tex>##:: <tex> D[i][j] + D[j][j'] \leq leqslant w[i][j] + D[i][k-1] + D[k][j] + D{[j][j'] </tex> {{-- -}} по определению <tex> D[i][j].</tex>:##: <= tex> \leqslant w[i][j'] + D[i][k-1] + D[k][j] + D{[j][j'] </tex> {{- по монотонности --}} так как <tex> w[i][j'] \geqslant w[i][j] </tex>:##: <= tex> \leqslant w[i][j'] + D[i][k-1] + D[k][j'] </tex> {{--- }} по индукционному предположению индукциидля <tex> D </tex>:##: <= tex> \leqslant D[i][j'] </tex> {{-- -}} по определению <tex> D[i][j']</tex>## <tex> k \geq geqslant j </tex> {{--- }} аналогичный предыдущему случай.# <tex> i' < j</tex>#: <tex> i < i' < j < j'</tex> #: Пусть <tex> y = R[i'][j] </tex> и <tex> z = R[i][j']</tex>. Получили два различных симметричных случая:## <tex> z \leq leqslant y или </tex>##: Получили <tex> i \leqslant z \geq leqslant y\leqslant j </tex>. Рассмотрим первый из них.Запишем:##: <tex> D[i'][j'] + D[i][j] \leqslant D_y[i'][j'] + D_z[i][j] = w[i'][j'] + D[i'][y-1] + D[y][j'] + w[i][j] + D[i][z-1] + D[z][j] </tex>Получили ##: <tex> \leqslant w[i][j'] + w[i'][j] + D[i'][y-1] + D[i][z-1] + D[z ][j] + D[y][j'] </tex> {{---}} по неравенству четырехугольника для <tex> w </tex>##: <tex> \leq leqslant w[i][j'] + w[i'][j] + D[i'][y -1] + D[i][z-1] + D[y][j] + D[z][j'] </tex> {{---}} по индукционному предположению для <tex> D </tex>##: <tex> \leq leqslant D[i][j (по определению y) и '] + D[i '][j] < z(/tex> {{---}} по определению <tex> D </tex>## <tex> z)\geqslant y </tex> доказывается аналогично. Получим:}}

Если <tex> w </tex> удовлетворяет неравенству четырехугольника, то: <tex> \forall i \leqslant j : R[i][j - 1] \leq leqslant R[i][j+1] \leq leqslant R[i + 1][j+1] </tex>.

Для доказательства этого сперва докажем несколько леммВ случае <tex> i = j </tex> неравенство, очевидно, выполняется. Рассматриваем случай <tex> i < j </tex> и только случай <tex> R[i][j] \leqslant R[i][j+1] </tex> (вторая часть доказывается аналогично): Так как <tex> R[i][j] </tex> {{---}} максимальный индекс, в котором достигается минимум, достаточно показать, что:: <tex> \forall i < k \leqslant k' \leqslant j: [D_{k'}[i][j] \leqslant D_k[i][j]] \Rightarrow [D_{k'}[i][j+1] \leqslant D_k[i][j+1]] </tex> {{---}} фактически, это означает что если на отрезке <tex> i..j </tex> разрез оптимальнее по <tex> k' </tex>, чем по <tex> k </tex>, то он также будет оптимальнее и на отрезке <tex> i..j+1 </tex>.Докажем более сильное неравенство:: <tex> \forall i < k \leqslant k' \leqslant j: D_k[i][j] - D_{k'}[i][j] \leqslant D_k[i][j+1] - D_{k'}[i][j+1] </tex> : <tex> D_k[i][j] + D_{k'}[i][j+1] \leqslant D_k[i][j+1] + D_{k'}[i][j] </tex> : <tex> (w[i][j] + D[i][k-1] + D[h][j]) + (w[i][j+1] + D[i][k'-1] + D[k][j+1]) \leqslant (w[i][j+1] + D[i][k-1] + D[k][j+1]) + (w[i][j] + D[i][k'-1] + D[k'][j]) </tex> {{---}} по определению <tex> D </tex>