Задача о двух конвертах — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
СТАТЬЯ НЕ ЗАКОНЧЕНА!
 
СТАТЬЯ НЕ ЗАКОНЧЕНА!
'''Задача (Парадокс) двух конвертов''' - известный математический парадокс теории вероятностей.  
+
'''Задача (Парадокс) двух конвертов''' известный математический парадокс теории вероятностей.  
  
  
Строка 25: Строка 25:
 
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
 
Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.
  
Действительно, пусть нам ''дано'' вероятностное геометрическое распределение
+
Действительно, пусть нам ''дано'' вероятностное геометрическое распределение:
  
 +
вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — <tex>(1-q)</tex>
 +
 +
вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — <tex>(1-q)q</tex>
 +
 +
вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — <tex>(1-q)q^2</tex>
 +
 +
<tex>\ldots</tex>
 +
 +
вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах — <tex>(1-q)q^i</tex>
 +
 +
<tex>\ldots</tex>
 +
 +
тогда сумма всех вероятностей действительно <tex>(1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1</tex>
 +
 +
Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1} \ </tex>  —  <tex> \ \frac{1}{(1+q)} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1} \ </tex>  —  <tex> \ \frac{q}{(1+q)} </tex> 
 +
 +
Тогда в "среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>
 
[[Категория: Теория вероятности]]
 
[[Категория: Теория вероятности]]

Версия 07:26, 12 января 2012

СТАТЬЯ НЕ ЗАКОНЧЕНА! Задача (Парадокс) двух конвертов — известный математический парадокс теории вероятностей.


Формулировок этого парадокса достаточно много. Приведу несколько. Вот самый известный из них.


Определение:
Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет [math] \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X [/math], т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?




В данном рассуждении ошибка кроется в предположении о том, что в другом конверте может равновероятно находится [math] 2X [/math] или [math] X \over 2[/math]. В действительности этого не может быть.


[math]\Box[/math] Предположим от противного, что существует вероятностное распределение [math]f(x)[/math], определенное на степенях двойки так, что [math]f(2^{x_1})[/math] - вероятность того, что в конвертах будут записаны [math]2^{x_1}[/math] и [math]2^{x_1 + 1}[/math], причем значения этой функции на соседних степенях равны. Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. [math]f(x)[/math] постоянна. Но [math]\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f(2^i) = 1[/math] (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.[math]\blacksquare[/math]

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство.

Действительно, пусть нам дано вероятностное геометрическое распределение:

вероятность выпадения 1 и 2 в конвертах — [math](1-q)[/math]

вероятность выпадения 2 и 4 в конвертах — [math](1-q)q[/math]

вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — [math](1-q)q^2[/math]

[math]\ldots[/math]

вероятность выпадения [math]2^i[/math] и [math]2^{i+1}[/math] в конвертах — [math](1-q)q^i[/math]

[math]\ldots[/math]

тогда сумма всех вероятностей действительно [math](1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1[/math]

Итак, пусть нам дали конверт с суммой [math]2^i[/math]. тогда вероятность того, что в другом конверте [math]2^{i-1} \ [/math][math] \ \frac{1}{(1+q)} [/math], а того, что в другом конверте [math]2^{i+1} \ [/math][math] \ \frac{q}{(1+q)} [/math]

Тогда в "среднем" при обмене мы будем получать [math]\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) [/math]