Изменения

 Формулировок этого парадокса достаточно много. Приведу несколько. Вот самый известный из них. {{Определение|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. |neat = 0 - параметр нужен для того, чтобы определение не растягивалось на всю страницу(не обязательно)|definitionПервая формулировка =Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?}} 

<tex>\Box</tex>Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>fp(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>fp(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex>fp(x)</tex> постоянна. Но <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^\infty fp(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.<tex>\blacksquare</tex>

* вероятность выпадения 1 и 2 и 4 в конвертах — <tex>(1-q)q</tex>

* вероятность выпадения 2 и 4 и 8 в конвертах — <tex>(1-q)q^2</tex>

* вероятность выпадения 4 и 8 в конвертах — <tex>\ldots(1-q)q^2</tex>

* вероятность выпадения <tex>2^i</tex> и <tex>2^{i+1}</tex> в конвертах — <tex>(1-q)q^i</tex>

Тогда "в "среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>. При <tex>q > \frac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения? А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико.Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не будем менять конверты. <tex>E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \frac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>. А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> ошибки нет.  == Ссылки ==[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах Википедия - Парадокс двух конвертов] [http://sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Очень подробная статья про парадокс] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности]]