Изменения

 Формулировок этого парадокса достаточно много. Приведу несколько. Вот самый известный из них. == Первая Формулировка формулировка == {{Определение|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. |neat = 0 - параметр нужен для того, чтобы определение не растягивалось на всю страницу(не обязательно)|definition=Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?}} 

<tex>\Box</tex>Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>fp(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>fp(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}</tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, т.е. <tex>fp(x)</tex> постоянна. Но <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^\infty fp(2^i) = 1</tex> (т.к это вероятностное распределение) - противоречие.<tex>\blacksquare</tex>

== Вторая Формулировка формулировка ==

Действительно, пусть нам ''дано'' вероятностное геометрическое распределениегеометрической прогрессией:

тогда сумма всех вероятностей действительно <tex dpi='180'>(1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1</tex>

Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в другом конверте <tex>2^{i-1} \ </tex> — <tex dpi='180'> \ \frac{1}{(1+q)} </tex>, а того, что в другом конверте <tex>2^{i+1} \ </tex> — <tex dpi='180'> \ \frac{q}{(1+q)} </tex>

Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex dpi='180'>\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex>.

А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. В данной задачеРассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не меняя будем менять конверты, "в среднем" мы заработаем . <tex>E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex> денег. А если будем менять конверты, то добавится множитель а так как <tex dpi='180'> \left ( q > \frac{1 + 4q}{2 + 2q} </tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \right )infty</tex>. Но по правилам математики А в равенстве <tex dpi='180'> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )</tex>, и никакой ошибки тут нет.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_о_двух_конвертах Мнение википедии по данному вопросуВикипедия - Парадокс двух конвертов] [[Категорияhttp: Теория вероятности]//sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Очень подробная статья про парадокс] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Теория вероятности ]]