234
правки
Изменения
Отмена правки 18875 участника Yurik (обсуждение)
== Первая формулировка ==
Есть два неразличимых конверта с деньгами.
В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна.
Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги.
После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают
следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?
При <tex>q > \frac{1}{2}</tex> последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В чем же тут ошибка рассуждения?
А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико. В данной задачеРассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не меняя будем менять конверты, "в среднем" мы заработаем . <tex>E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex> денег. А если будем менять конверты, то добавится множитель а так как <tex> \left ( q > \frac{1 + 4q}{2 + 2q} </tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \right )infty</tex>. Верно, что А в равенстве <tex> \infty = \infty \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right )</tex>, и никакой ошибки тут нет.
[http://sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Очень подробная статья про парадокс]
[[Категория: Теория вероятностиДискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмыТеория вероятности ]]
