Задача о динамической связности

Материал из Викиконспекты
Версия от 23:54, 7 января 2018; I am dark black (обсуждение | вклад) (Обобщение задачи для произвольных графов)
Перейти к: навигация, поиск
Задача:
Есть неориентированный граф из [math]n[/math] вершин, изначально не содержащий рёбер. Требуется обработать [math]m[/math] запросов трёх типов:
  • [math]\mathrm{add(u,v)}[/math] — добавить ребро между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math];
  • [math]\mathrm{remove(u,v)}[/math] — удалить ребро между вершинами [math]u[/math] и [math]v[/math];
  • [math]\mathrm{connected(u,v)}[/math] — проверить, лежат ли вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] в одной компоненте связности.

В этой статье будет приведено решение задачи online, то есть отвечать на get-запрос (проверять наличие пути между вершинами) мы будем сразу.

Динамическая связность в лесах

Если задача такова, что в графе нет и не может быть циклов, то она сводится к задаче о связности в деревьях эйлерова обхода. Время работы каждого запроса для упрощённой задачи — [math]O(\log n)[/math].

Обобщение задачи для произвольных графов

Существуют задачи, в которых граф не обязательно на протяжении нашей работы после каждой операции добавления ребра остаётся лесом. Но мы можем в каждой компоненте связности выделить остовные деревья, которые образуют остовный лес.

Произвольный граф
Остовный лес в графе









Введём функцию [math]l(e):e{\rightarrow}[0;\mathrm{\log} n][/math] и назовём её уровнем ребра [math]e[/math]. Будем рассматривать графы [math]G_i=\langle V, E\rangle: {E|l(E) \geqslant i}[/math]. Очевидно, что [math]G_{\mathrm{\log}n} \subseteq G_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq G_1 \subseteq G_0[/math]. Выделим в них остовные леса таким образом, чтобы [math]F_{\mathrm{\log}n} \subseteq F_{\mathrm{\log}n-1} \subseteq ... \subseteq F_1 \subseteq F_0[/math], где [math]F_i[/math] — остовный лес графа [math]G_i[/math].


См. также

Источники информации