Изменения

{{

|definition=задача о нахождении минимальнойНеобходимо найти минимальную/максимальной максимальную суммы попарных произведений для двух заданных упорядоченных наборов чисел. }} == Решение == Скалярным произведением двух упорядоченных последовательностей чисел будем называть число <tex>S = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_m y_m</tex> {{ Теорема |about=о минимуме/максимуме скалярного произведениях<ref name = "wiki" /> |statement=Минимум скалярного произведения достигается при сопоставлении возрастающей последовательности <tex>x_1 \ldots x_m</tex> и убывающей последовательности <tex>y_1 \ldots y_m</tex>. При сопоставлении возрастающей <tex>y_1 \ldots y_m</tex> достигается максимум.  |proof= Будем считать, что последовательность <tex>x_i</tex> отсортирована по возрастанию. Покажем, что если существуют пары чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, такие что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i < y_j</tex>, то скалярное произведение можно уменьшить, поменяв местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. Так как в нашем случае <tex>(x_j - x_i)(y_j - y_i) > 0</tex>, то <tex>x_i y_i + x_j y_j > x_j y_i + x_i y_j</tex>, а следовательно данное скалярное произведение не является минимальным. Проделав такую замену для всех <tex>y_i < y_j</tex> получим отсортированную по убыванию последовательность <tex>y_i</tex>, и скалярное произведение такой пары последовательностей будет минимальным. Аналогично для получения максимума во всех парах чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, таких что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i > y_j</tex> нужно менять местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. В результате получится отсортированная по возрастанию последовательность, и скалярное произведение в таком случае будет максимальным.

Данная теорема нашла себе практическое применение в теории [[Теорема Радо-Эдмондса (жадный алгоритм)|матроидов]] и [[Flow shop|proofрасписаний]]. == Примечания ==Будем считать, что <texreferences>x_i</texref name = "wiki"> отсортирована по возрастанию. Покажем, что если существуют пары чисел <tex>(x_i, y_i)<[https:/tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, такие что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i < y_j<ru.wikipedia.org/tex>, то скалярное произведение можно уменьшить, поменяв местами <tex>y_i<wiki/tex> и <tex>y_j</tex>. Так как <tex>(x_j Перестановочное_неравенство Википедия {{-- x_i)(y_j - y_i) > 0}} Перестановочное неравенство]</texref>, то <tex>x_i y_i + x_j y_j > x_j y_i + x_i y_j</tex>. Проделав такую замену для всех <tex>y_i < y_j</tex> получим отсортированную по убыванию последовательность <tex>y_i</tex>. Аналогично для получения максимума во всех парах чисел <tex>(x_i, y_i)</tex> и <tex>(x_j, y_j)</tex>, таких что <tex>x_i < x_j</tex> и <tex>y_i > y_j</texreferences> нужно менять местами <tex>y_i</tex> и <tex>y_j</tex>. В результате получится отсортированная по возрастанию последовательность.}}

== Примечание См. также==* Данная [[Задача о монотонных подпоследовательностях, теорема также широко известна как о связи длины НВП и НУП]]* [[Теорема Кэли]]* [[http://ru.wikipedia.org/wiki/Перестановочное_неравенство транс-неравенство или перестановочное неравенствоМатричное представление перестановок]].

== Литература Источники информации ==* Романовский И. В. Дискретный анализ. — 3-е изд. — С. 320 — ISBN 5-7940-0114-3.

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]