Задача о наибольшей общей палиндромной подпоследовательности

Задача о наибольшей общей подпоследовательности (англ. longest common subsequence (LCS)) — классическая и хорошо изученная проблема.

Задача о наибольшей подпоследовательности-палиндроме (англ. longest palindromic subsequence (LPS)) - также хорошо изучена.

В этой статье мы рассмотрим задачу, которая объединяет две вышеперечисленные задачи в одну.

Наибольшая общая подпалиндромная подпоследовательность (англ. The longest common palindromic subsequence (LCPS)) — задача, являющаяся интересным вариантом классической задачи о поиске наибольшей общей подпоследовательности, которая находит наибольшую общую подпоследовательность среди двух последовательностей так, что она также является палиндромом.

Задача:

Для последовательности [math]X[/math], мы обозначим его подпоследовательность [math]x_{i}...x_{j} (1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n)[/math] как [math]X_{i,j}[/math]. Для двух последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math], если общая подпоследовательность [math]Z[/math] последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] является палиндромом, то [math]Z[/math] называется общей подпалиндромной подпоследовательностью (англ. common palindromic subsequence). Общая подпалиндромная последовательность, имеющая максимальную длину, называется наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательностью (англ. The longest common palindromic subsequence (LCPS)) и мы обозначим её как [math]LCPS(X,Y)[/math].

Наивное решение

Можно придумать такое решение данной задачи: найти наибольшую общую подпоследовательность, в ней найти наибольшую подпалиндромную подпоследовательность. Но, к сожалению, это решение неверно.

Контрпример

Возьмем 2 последовательности [math]X=1\ 2\ 3\ 1[/math] и [math]Y=1\ 1\ 2\ 3[/math].

Наибольшей общая подпоследовательность данных последовательностей равна [math]LCS(X,Y) = 1\ 2\ 3[/math] и в ней наибольшая подпалиндромная последовательность имеет длину [math]1[/math].

Но очевидно, что на самом деле последовательность [math]Z=1\ 1[/math] является наибольшим общей палиндромной подпоследовательностью [math]X[/math] и [math]Y[/math] и имеет длину [math]2[/math].

Динамическое программирование

Заметим, что в качестве подзадач для [math]LCPS[/math], в которых мы можем посчитать ответ, логично взять подпоследовательность от [math]X[/math] и от [math]Y[/math]. Основываясь на этом наблюдении мы сформулируем следующую теорему, которая доказывает оптимальную подструктуру свойств задачи [math]LCPS[/math].

Теорема:

Пусть [math]X[/math] и [math]Y[/math] - две последовательности длин [math]n[/math] и [math]m[/math] соответственно, а [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{i,j}[/math] — две подпоследовательности последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно. Пусть [math]Z = z_{1}z_{2}...z_{u}[/math] - наибольшая общая подпалиндромная последовательность двух подпоследовательностей [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]. Тогда выполняются следующие утверждения, Если [math]x_i=x_j=y_k=y_l=a[/math] (для произвольного [math]a[/math]), тогда [math]z_1=z_u=a[/math] и [math]z_2...z_{u-1}[/math] — наибольшая общая палиндромная подпоследовательность от подпоследовательностей [math]X_{i+1,j-1}[/math] и [math]Y_{k+1,l-1}[/math]. Если [math]x_i=x_j=y_k=y_l[/math] не выполняется, то [math]Z[/math] — наибольшая общая палиндромная подпоследовательность от подпоследовательностей ([math]X_{i+1,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]) или ([math]X_{i,j-1}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]) или ([math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k+1,l}[/math]) или ([math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l-1}[/math]).

На основании теоремы мы напишем следующую рекурсивную формулу для длины наибольшей общей подпалиндромной подпоследовательности:

[math] lcps[i,j,k,l] = \left\{\begin{array}{llcl} 0&&;&i \gt j\ or\ k \gt l\\ 1&&;&(i = j)\ and\ (k = l)\ and\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\ 2+lcps[i+1,j-1,k+1,l-1]&&;&(i \lt j)\ and\ (k \lt l)\ and\ (x_i=x_j=y_k=y_l)\\ \max{(}lcps[i+1,j,k,l],lcps[i,j-1,k,l],&&;&(i \leqslant j)\ and\ (k \leqslant l)\ and\ not(x_i=x_j=y_k=y_l)\\ lcps[i,j,k+1,l],lcps[i,j,k,l-1]) \end{array}\right. [/math]

Где [math]lcps[i,j,k,l][/math] — длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от [math]X_{i,j}[/math] и [math]Y_{k,l}[/math]. Длина наибольшей общей палиндромной подпоследовательности от последовательностей [math]X[/math] и [math]Y[/math] будет расположена в [math]lcps[1,n,1,m][/math]. Мы можем вычислить эту длину за время [math]O(n^4)[/math] используя динамическое программирование.

Реализация

Будем использовать динамику с запоминанием ответа. Оформим решения в виде рекурсивной функции [math]lcps[/math], которая возвращает ответ для подзадачи, на которую она была вызвана.
В массиве [math]ans[/math] хранятся ответы для подзадач. До запуска функции [math]lcps[/math] заполним массив [math]ans[/math] [math]-1[/math] и будем использовать такую логику: мы имеем подзадачу [math]lcps(i,j,k,l)[/math], если [math]ans[i][j][k][l] = -1[/math], то значение для данной подзадачи мы еще не вычисляли и именно этим мы и займемся, иначе значение уже посчитано и мы можем просто вернуть [math]ans[i][j][k][l][/math]. Так как каждое значение считается не более одного раза, мы получим асимптотику [math]O(n^4)[/math].

Псевдокод

int lcps (i: int, j: int, k: int, l: int)
  if (ans[i][j][k][l] [math] \neq [/math] -1) // если так, то значение уже посчитано и нужно просто его вернуть
    return ans[i][j][k][l]
  if (i > j or k > l)
    ans[i][j][k][l] = 0
    return 0
  if (X[i] == X[j] == Y[k] == Y[l])
    if (i == j and k == l)
      ans[i][j][k][l] = 1
      return 1       
    else
      tmp = (2 + lcps(i + 1, j - 1, k + 1, l - 1))
      return tmp
      ans[i][j][k][l] = tmp
  tmp = max(lcps(i + 1, j, k, l), lcps(i, j - 1, k, l), lcps(i, j, k + 1, l), lcps(i, j, k, l - 1))
  ans[i][j][k][l] = tmp
  return tmp

См. также

• Динамическое программирование
• Задача о наибольшей общей подпоследовательности
• Задача о наибольшей подпоследовательности-палиндроме

Источники информации

• Academia.edu — Computing a Longest Common Palindromic Subsequence