Изменения

{{В разработкеОпределение|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево.}}Задача о {{Определение|definition='''наибольшей подпоследовательностиПодпоследовательностью-палиндромапалиндромом данной строки''' — это задача поиска длины наибольшей подпоследовательности-палиндрома, которую можно получить вычеркиванием некоторых букв (англ. <i>Largest Palindromic Subsequence</i>) называется последовательность символов из данной последовательностистроки, не обязательно идущих подряд, являющаяся палиндромом. }}Например, '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''.

{{Задача|definition == Определения ==Задача о '''наибольшей подпоследовательности-палиндроме''' {{---}} это задача о поиске наибольшей подпоследовательности, которую можно получить вычеркиванием некоторых букв из данной последовательности таким образом, что оставшаяся подпоследовательность будет палиндромом.}}

== Решение ==Обозначим данную последовательность через <tex>S</tex>, а ее элементы {{---}} через <tex>S[i], 0 \leqslant i \leqslant n - 1</tex>, где <tex>n</tex> {{Определение|definition='''Палиндромом''' называется строка---}} длина строки <tex>S</tex>. Будем рассматривать возможные подпоследовательности данной последовательности с <tex>i - </tex>го по <tex>j - </tex>ый символ включительно, которая одинаково читается обозначив её как слева направо<tex>S(i, так и справа налевоj)</tex>.Длины максимальных подпалиндромов для данной последовательности будем записывать в двумерный массив <tex>L</tex>: <tex>L[i][j]</tex> {{---}}длина максимальной подпоследовательности-палиндрома, который можно получить из последовательности <tex>S(i, j)</tex>.

Начнем решать задачу с простых подпоследовательностей. Для последовательности из одного элемента (то есть подпоследовательности вида <tex>S(i, i)</tex>) ответ очевиден {{Определение|definition='''Подпоследовательностью---}} ничего вычеркивать не надо, такая строка будет искомой подпоследовательностью-палиндромом данной строки''' называется последовательность символов . Для последовательности из данной строкидвух элементов <tex>S(i, i + 1)</tex> возможны два варианта: если элементы равны, то мы имеем подпоследовательность-палиндром, ничего вычеркивать не обязательно идущих подряднадо. Если же элементы не равны, являющаяся палиндромомто вычеркиваем любой. }}

'''''Например'''''Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''j)</tex>. == Решение ==[[Файл:Palindrome11.jpg|200px|thumb|right|Массив длин подпоследовательностей-палиндромов]][[Файл:Palindrome12.jpg|200px|thumb|right|Наглядный массив переходов]]Обозначим данную последовательность через Если <tex>S[i]</tex>, а ее элементы — через и <tex>S[ij], 1 \le i \le n</tex> Будем рассматривать возможные элементы подпоследовательности данной последовательности с не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i , j - 1)</tex>го по или <tex>S(i + 1, j-)</tex>ый символ, обозначим их как {{---}} то есть мы сведем задачу к подзадаче: <tex>SL[i][j] = \max(L[i][j - 1], L[i + 1][j])</tex>. Длины максимальных палиндромов для подпоследовательностей будем записывать в квадратный массив Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, но необходимо знать решение задачи <tex>S(i + 1, j - 1):L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>. Таким образом получаем следующее рекуррентное соотношение:  <tex>L[i][j]</tex=\begin{cases} 1, & i = j\\ 0, & i > — длина максимальной подпоследовательностиj\\ L[i + 1][j -палиндрома1] + 2, который можно получить из подпоследовательности <tex>S& s[i] = s[j] \\ \max(L[i][j - 1], L[i + 1][j]), & s[i] \neq s[j]\end{cases}</tex>.

Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, j)</tex>. Если первый <tex>(S[i])</tex> и последний <tex>(S[j])=== Асимптотика ===Каждый элемент массива мы вычисляем </tex> элементы подпоследовательности не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i, j - 1)</tex> или раз за <tex>SO(i + 1, j)</tex> — то есть мы сведем задачу обращаясь к подзадаче: уже вычисленным элементам. Так как размер массива <tex>L[i][j] = max(L[i][j - 1], L[i + 1][j])n \times n</tex>. Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, но необходимо знать решение задачи алгоритм работает за <tex>SO(i + 1, j - 1n^2): L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>.

Рассмотрим решение на примере последовательности '''''ABACCBA'''''. Первым делом заполняем диагональ массива единицами, они будут соответствовать подпоследовательностями <tex>S(i, i)</tex> из одного элемента. Затем начинаем рассматривать подпоследовательности длины два. Во всех подпоследовательностях, кроме <tex>S(3, 4, 5)</tex>, элементы различны, поэтому в соответствующие ячейки запишем <tex>1</tex>, а в <tex>L[43][54]</tex> — {{---}} <tex>2</tex>.

Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для подпоследовательностей длины <tex>3</tex> получаются следующие значения: в подпоследовательности '''''ABA''''' первый и последний элемент равны, поэтому <tex>L[10][32] = L[21][21] + 2</tex>. В остальных подпоследовательностях первый и последний элементы различны.

'''''ACCBAC''''': <tex>L[31][53] = \max(L[31][42], L[42][53]) = 21</tex>

'''''CCBACC''''': <tex>L[42][64] = \max(L[42][53], L[53][64]) = 2</tex>

'''''CBACCB''''': <tex>L[53][75] = \max(L[53][64], L[64][75]) = 12</tex>

Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки под диагональю и в ячейке '''''CBA''''': <tex>L[14][76]</tex> получим ответ <tex>= \max(L[4][5], L[5][6])= 1</tex>.

Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки над диагональю и в ячейке <tex>L[0][6]</tex> получим ответ {{---}} <tex>6</tex>. Если же в задаче необходимо вывести не длину, а саму подпоследовательность-палиндром, то дополнительно к массиву длин мы должны построить массив переходов — {{---}} для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован. Последовательность заполнения массива и массив переходов см. на изображениях ниже. [[Файл:Palindrome11.png|200px|Заполнение массива длин (1)]][[Файл:Palindrome12.png|200px|Заполнение массива длин (2)]][[Файл:Palindrome13.png|200px|Заполнение массива длин (3)]][[Файл:Palindrome14.png|200px|Заполнение массива длин (4)]][[Файл:Palindrome15.png|200px|Массив переходов]]

*[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 [Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]*[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9_%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%8E%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 [Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности] == Литература ==]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Palindrome Wikipedia — Palindrome[Задача о наибольшей общей палиндромной подпоследовательности]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%BC Википедия — Палиндром]