Изменения

{{В разработкеОпределение|definition='''Палиндромом''' (англ. <i>Palindrome</i>) называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево.}}Задача о {{Определение|definition='''наибольшей подпоследовательностиПодпоследовательностью-палиндромапалиндромом данной строки''' — это задача поиска длины наибольшей подпоследовательности-палиндрома, которую можно получить вычеркиванием некоторых букв (англ. <i>Largest Palindromic Subsequence</i>) называется последовательность символов из данной последовательностистроки, не обязательно идущих подряд, являющаяся палиндромом. }}Например, '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''.

{{Задача|definition == Определения ==Задача о '''наибольшей подпоследовательности-палиндроме''' {{---}} это задача о поиске наибольшей подпоследовательности, которую можно получить вычеркиванием некоторых букв из данной последовательности таким образом, что оставшаяся подпоследовательность будет палиндромом.}}

== Решение ==Обозначим данную последовательность через <tex>S</tex>, а ее элементы {{---}} через <tex>S[i], 0 \leqslant i \leqslant n - 1</tex>, где <tex>n</tex> {{Определение|definition='''Палиндромом''' называется строка---}} длина строки <tex>S</tex>. Будем рассматривать возможные подпоследовательности данной последовательности с <tex>i - </tex>го по <tex>j - </tex>ый символ включительно, которая одинаково читается обозначив её как слева направо<tex>S(i, j)</tex>. Длины максимальных подпалиндромов для данной последовательности будем записывать в двумерный массив <tex>L</tex>: <tex>L[i][j]</tex> {{---}} длина максимальной подпоследовательности-палиндрома, так и справа налевокоторый можно получить из последовательности <tex>S(i, j)</tex>. Начнем решать задачу с простых подпоследовательностей. Для последовательности из одного элемента (то есть подпоследовательности вида <tex>S(i, i)</tex>) ответ очевиден {{---}}ничего вычеркивать не надо, такая строка будет искомой подпоследовательностью-палиндромом. Для последовательности из двух элементов <tex>S(i, i + 1)</tex> возможны два варианта: если элементы равны, то мы имеем подпоследовательность-палиндром, ничего вычеркивать не надо. Если же элементы не равны, то вычеркиваем любой.

Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, j)</tex>. Если <tex>S[i]</tex> и <tex>S[j]</tex> элементы подпоследовательности не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i, j - 1)</tex> или <tex>S(i + 1, j)</tex> {{Определение|definition---}} то есть мы сведем задачу к подзадаче: <tex>L[i][j] ='''Подпоследовательностью\max(L[i][j -палиндромом данной строки''' называется последовательность символов из данной строки1], L[i + 1][j])</tex>. Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, не обязательно идущих подрядно необходимо знать решение задачи <tex>S(i + 1, являющаяся палиндромомj - 1):L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>. }}Таким образом получаем следующее рекуррентное соотношение:

'''''Например''''', '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''. <tex>L[i][j] =\begin{cases} 1, & i = Решение ==j\\ 0, & i > j\\ L[i + 1][Файл:Palindrome11.jpg|200px|thumb|right|Массив длин подпоследовательностейj -палиндромов1]+ 2, & s[i]= s[[Файл:Palindrome12.jpg|200px|thumb|right|Наглядный массив переходов]j]\\Обозначим данную последовательность через <tex>S</tex>, а ее элементы — через <tex>S \max(L[i], 1 \le i \le n</tex> Будем рассматривать возможные подпоследовательности данной последовательности с <tex>i - </tex>го по <tex>[j-</tex>ый символ, обозначим их как <tex>S(i1], j)</tex>. Длины максимальных палиндромов для подпоследовательностей будем записывать в квадратный массив <tex>L</tex>: <tex>L[i+ 1][j]</tex> — длина максимальной подпоследовательности-палиндрома), который можно получить из подпоследовательности <tex>S(& s[i, ] \neq s[j)]\end{cases}</tex>.

Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, j)</tex>. Если первый <tex>(S[i])</tex> и последний <tex>(S[j])=== Асимптотика ===Каждый элемент массива мы вычисляем </tex> элементы подпоследовательности не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i, j - 1)</tex> или раз за <tex>SO(i + 1, j)</tex> — то есть мы сведем задачу обращаясь к подзадаче: уже вычисленным элементам. Так как размер массива <tex>L[i][j] = max(L[i][j - 1], L[i + 1][j])n \times n</tex>. Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, но необходимо знать решение задачи алгоритм работает за <tex>SO(i + 1, j - 1n^2): L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>.

Рассмотрим решение на примере последовательности '''''ABACCBA'''''. Первым делом заполняем диагональ массива единицами, они будут соответствовать подпоследовательностями <tex>S(i, i)</tex> из одного элемента. Затем начинаем рассматривать подпоследовательности длины два. Во всех подпоследовательностях, кроме <tex>S(3, 4, 5)</tex>, элементы различны, поэтому в соответствующие ячейки запишем <tex>1</tex>, а в <tex>L[3][4]</tex> {{---}} <tex>2</tex>. Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали. Для подпоследовательностей длины <tex>3</tex> получаются следующие значения: в подпоследовательности '''''ABA''''' первый и последний элемент равны, поэтому <tex>L[50][2] = L[1][1] + 2</tex> — . В остальных подпоследовательностях первый и последний элементы различны.  '''''BAC''''': <tex>L[1][3] = \max(L[1][2], L[2][3]) = 1</tex>.

Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для подпоследовательностей длины <tex>3</tex> получаются следующие значения: в подпоследовательности '''''ABAACC''''' первый и последний элемент равны, поэтому : <tex>L[12][34] = \max(L[2][23], L[3][4] + ) = 2</tex>. В остальных подпоследовательностях первый и последний элементы различны.

'''''BACCCB''''': <tex>L[23][45] = \max(L[23][34], L[34][45]) = 12</tex>

'''''ACCCBA''''': <tex>L[34][56] = \max(L[34][45], L[45][56]) = 21</tex>

'''''CCB''''': Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки над диагональю и в ячейке <tex>L[40][6] = max(L[4][5], L[5][</tex> получим ответ {{---}} <tex>6]) = 2</tex>.

'''''CBA''''': <tex>L[5][7] = max(L[5][6]Если же в задаче необходимо вывести не длину, L[6][7]) = 1</tex>а саму подпоследовательность-палиндром, то дополнительно к массиву длин мы должны построить массив переходов {{---}} для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован.

Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки под диагональю Последовательность заполнения массива и в ячейке <tex>L[1][7]</tex> получим ответ <tex>(6)</tex>массив переходов см. на изображениях ниже.

Если же в задаче необходимо вывести не длину, а саму подпоследовательность-палиндром, то дополнительно к массиву [[Файл:Palindrome11.png|200px|Заполнение массива длин мы должны построить массив (1)]][[Файл:Palindrome12.png|200px|Заполнение массива длин (2)]][[Файл:Palindrome13.png|200px|Заполнение массива длин (3)]][[Файл:Palindrome14.png|200px|Заполнение массива длин (4)]][[Файл:Palindrome15.png|200px|Массив переходов — для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован.]]

*[[Задача_о_наибольшей_общей_подпоследовательности|Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]* [[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]*[[Задача_о_наибольшей_возрастающей_подпоследовательности|Задача о наибольшей возрастающей общей палиндромной подпоследовательности]]

== Литература Источники информации==*[[wikipedia:Palindromeru:Палиндром|Wikipedia — PalindromeВикипедия {{---}} Палиндром]]*[[wikipedia:ru:ПалиндромPalindrome|Википедия — ПалиндромWikipedia {{---}} Palindrome]]* [http://wcipeg.com/wiki/Longest_palindromic_subsequence Wikipedia {{---}} Longest palindromic subsequence]