Просмотр исходного текста страницы Задача о порядке перемножения матриц

{{Задача
|definition =  Дана последовательность из <tex>n</tex> матриц, в которой требуется найти самый эффективный способ их перемножения.
}}

У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.  

[[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]]. 
Однако, порядок в котором расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на ''эффективность''.
 
Например, предположим, что <tex>\dim{A}= 10 \times 30</tex>, <tex>\dim{B} = 30 \times 5</tex>, <tex>\dim{C} = 5 \times 60</tex>. Тогда:

: Для <tex> (A \times B)\times C</tex> будет <tex>(10\times30\times5) + (10\times5\times60)  = 1500 + 3000 = 4500</tex> операций
: Для <tex> A \times(B \times C)</tex> будет <tex>(30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000</tex> операций.

Как мы видим, первый способ гораздо эффективней. 

== Решение задачи ==

=== Перебор всех вариантов ===

В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий [[Динамическое программирование |  рекурсивный алгоритм]]:

* взять последовательность матриц и разделить её на две части,
* найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности,
* сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц,
* сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

Или другими словами, давайте обозначим через <tex>f(i, j)</tex> минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы <tex>M_{i..j}</tex>,  то получаем следующее рекуррентное соотношение:
<tex> f(i,j) = \left \{ 
\begin{array}{ll}
 0, & i=j \\
 \min\limits_{i \leqslant k < j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j)} & i < j 
 \end{array}
 \right.
</tex>

Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц <tex>M_{i..j}</tex> при <tex>i=j</tex> не нужно ничего делать — это и есть сама матрица <tex>M_i</tex>. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы <tex>M_{i..j}</tex> на матрицы <tex>M_{i..k}</tex> и <tex>M_{k+1..j}</tex>, ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы <tex>M_{i..j}</tex>.(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц <tex>M_{i..k}M_{k+1..j}</tex>). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве <tex>p</tex> и размер матрицы <tex>M_i</tex> равен <tex>p_{i-1} \times p_i</tex>.


Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы <tex>ABCD</tex>, то мы посчитаем для <tex>(A)(BCD)</tex>, <tex>(AB)(CD)</tex>, и <tex>(ABC)(D)</tex>, делая рекурсивные вызовы на отрезках <tex>ABC</tex>, <tex>AB</tex>,<tex>CD</tex>, и <tex>BCD</tex>, чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.

Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности |  скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для <tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности]] ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>-ое [[Числа Каталана | число Каталана]] равняется <tex dpi="163">  \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <tex dpi="163"> \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, а это быстро возрастающая функция, нам бы хотелось решение,  которое работает быстрее.

=== Псевдокод ===


 '''int''' dp[][]      <font color="green">// dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)</font>
 '''int''' v[]         <font color="green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
                 // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно
                 // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l = 0, r = n, где n {{---}} длина последовательности</font>  
 '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r)      
     '''if''' dp[l][r] == -1 		                   <font color="green">// Если значение динамики не посчитано</font>
         '''if''' l == r - 1 
             dp[l][r] = 0	                  <font color="green"> // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю</font>
         '''else'''
             dp[l][r] = <tex>\infty</tex>
             '''for''' i = l + 1 '''to''' r - 1
                 dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r] +  matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r))
     '''return''' dp[l][r]

== См. также ==

*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности ]]
*[[Кратчайший путь в ациклическом графе ]]
*[[Задача о расстановке знаков в выражении]]
*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами | Aлгоритм Кока-Янгера-Касами ]]
*[[Правильные скобочные последовательности | Правильные скобочные последовательности ]]
== Источники информации ==

*[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Wikipedia {{---}} Matrix chain multiplication]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое_программирование]]