Изменения

|definition = Дана последовательность из <tex>n</tex> матриц, в которой мы хотим требуется найти самый эффективный способ их перемножения.

[[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]].

Например, предположим, что <tex>\dim{A }= (10 \times 30)</tex>, <tex>\dim{B } = (30 \times 5)</tex>, <tex>\dim{C } = (5 \times 60)</tex>. Тогда:

:Для <tex>(ABA \times B)\times C = </tex> будет <tex>(10\times30\times5) + (10\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500</tex> операций:Для <tex>A\times(BCB \times C) = </tex> будет <tex>(30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000</tex> операций.

В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий [[Динамическое программирование | рекурсивный алгоритм]]:

* Взять взять последовательность матриц и разделить её на две части.,* Найти найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности.,* Сложить сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц.,* Сделать сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

\min\limits_{i \leqslant k < j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j | i \le k < j) } & i < j

Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц <tex>M_{i..j}</tex> при <tex>i=j </tex> не нужно ничего делать — это и есть сама матрица <tex>M_i</tex>. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы <tex>M_{i..j}</tex> на матрицы <tex>M_{i..k}</tex> и <tex>M_{k+1..j}</tex>, ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы <tex>M_{i..j}</tex>.(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц <tex>M_{i..k}M_{k+1..j}</tex>). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве <tex>p</tex> и размер матрицы <tex>M_i</tex> равен <tex>p_{i-1} \times p_i</tex>.

Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности | скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для <tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности ]] ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>­-ое [[Числа Каталана | число Каталана ]] равняется <texdpi="163"> \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <texdpi="163"> \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, что является а это быстро возрастающей функциейвозрастающая функциия, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее.

=== Оптимизация динамическим программированием Псевдокод ===Одна из простых оптимизаций — это запоминание уже посчитанных значений. Каждый раз, когда считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте запоминать ответ. Если мы когда либо захотим посчитать это ещё раз, то уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего <tex>O(n^2)</tex> подотрезков, где <tex>n</tex> — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. С помощью запоминания ответа мы уменьшили асимптотику алгоритма (перебор) с <tex>O(n \cdot C_n)</tex> до <tex>O(n^3)</tex>, что является достаточно эффективным для реальных приложений.

=== Псевдокод ===<pre>  '''int ''' dp[][];int v[]; <font color="green">// dp[i][j] — меморизация ответ на отрезке [i, j)</font> '''int''' v[] <font color="green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократноint matrixChainMultiplication(int l, int r){ //l — включая в отрезок //, r — исключая из отрезка. Изначально l = 0, r = n, где n {{---}} длина последовательности</font> '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r) '''if ''' dp[l][r] == -1 <font color="green">//Если значение динамики не посчитано</font> '''if ''' l == r - 1 dp[l][r] = 0; <font color="green"> //Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю</font> '''else''' dp[l][r] = infinity;<tex>\infty</tex> '''for (int ''' i = l + 1; i < '''to''' r; i++)- 1 dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r - 1] + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r)); '''return ''' dp[l][r];}</pre>

*[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Wikipedia {{---}} Matrix chain multiplication]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числа Каталана]