Изменения

{{Задача|definition = Дана последовательность из <tex>n</tex> матриц, требуется найти самый эффективный способ их перемножения.}} У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.  [[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]]. Однако, порядок в котором расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на ''эффективность''Задача о порядке . Например, предположим, что <tex>\dim{A}= 10 \times 30</tex>, <tex>\dim{B} = 30 \times 5</tex>, <tex>\dim{C} = 5 \times 60</tex>. Тогда: : Для <tex> (A \times B)\times C</tex> будет <tex>(10\times30\times5) + (10\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500</tex> операций: Для <tex> A \times(B \times C)</tex> будет <tex>(30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000</tex> операций. Как мы видим, первый способ гораздо эффективней.  == Решение задачи == === Перебор всех вариантов === В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий [[Динамическое программирование | рекурсивный алгоритм]]: * взять последовательность матриц и разделить её на две части,* найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности,* сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц''' — классическая задача динамического программирования,* сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой дана последовательность она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов. Или другими словами, давайте обозначим через <tex>f(i, j)</tex> минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы <tex>M_{i..j}</tex>, то получаем следующее рекуррентное соотношение:<tex> f(i,j) = \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i=j \\ \min\limits_{i \leqslant k < j}{(f(i,k) + f(k+1,j) + p_{i-1}p_kp_j)} & i < j \end{array} \right.</tex> Объясняется оно просто: для того, чтобы найти произведение матриц<mathtex>M_{i..j}</tex> при <tex>i=j</tex> не нужно ничего делать — это и есть сама матрица <tex>M_i</tex>. При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы <tex>M_{i..j}</tex> на матрицы <tex>M_{i..k}</tex> и <tex>M_{k+1..j}</tex> A_1, A_2ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы <tex>M_{i..j}</tex>.(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц <tex>M_{i..k}M_{k+1..j}</tex>).Считаем, что размеры матриц заданы в массиве <tex>p</tex> и размер матрицы <tex>M_i</tex> равен <tex>p_{i-1} \times p_i</tex>.  Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы <tex>ABCD</tex>, то мы посчитаем для <tex>(A)(BCD)</tex>, A_n <tex>(AB)(CD)</mathtex> , и требуется минимизировать <tex>(ABC)(D)</tex>, делая рекурсивные вызовы на отрезках <tex>ABC</tex>, <tex>AB</tex>,<tex>CD</tex>, и <tex>BCD</tex>, чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость. Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности | скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество скалярных операций ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для вычисления их произведения<tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Матрицы предполагаются совместимыми по отношению к матричному умножению Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности]] ''затрат'' на перемножение (то есть количество столбцов <mathtex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>­-ое [[Числа Каталана | число Каталана]] равняется <tex dpi="163"> \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <tex dpi="163"> A_\frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, а это быстро возрастающая функциия, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее. === Псевдокод ===   '''int''' dp[][] <font color="green">// dp[i ][j] — ответ на отрезке [i, j)</font> '''int''' v[] <font color="green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l = 0, r = n, где n {{---}} длина последовательности</font> '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r) '''if''' dp[l][r] == - 1} <font color="green">// Если значение динамики не посчитано</font> '''if''' l == r - 1 dp[l][r] = 0 <font color="green"> // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю</mathfont> совпадает с количеством строк '''else''' dp[l][r] = <mathtex> A_i \infty</mathtex> матрицы '''for''' i = l + 1 '''to''' r - 1 dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r] + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r)) '''return''' dp[l][r] == См.также == *[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности ]]*[[Кратчайший путь в ациклическом графе ]]*[[Задача о расстановке знаков в выражении]]*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами | Aлгоритм Кока-Янгера-Касами ]]*[[Правильные скобочные последовательности | Правильные скобочные последовательности ]]== Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Wikipedia {{---}} Matrix chain multiplication] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Динамическое_программирование]]