Изменения

'''{{Задача о порядке перемножения матриц''' (англ. ''chain matrix multiplication'') — классическая задача, которая может быть решена с помощью динамического программирования. В этой задаче нам дается |definition = Дана последовательность из <tex>n</tex> матриц, в которой мы хотим требуется найти самый эффективный способ их перемножения.}}

У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке мы расставим расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же. Например, если у нас есть четыре матрицы ''A'', ''B'', ''C'' и ''D'', то существуют следующие варианты::(''ABC'')''D'' = (''AB'')(''CD'') = ''A''(''BCD'') = ''A''(''BC'')''D'' = ....

[[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]]. Однако, порядок в котором мы расставим расставляются скобки между матрицами повлияет на количество арифметических операций, которые потребуются на вычисление ответа, или, другими словами, на ''эффективность''.

Например, предположим, что А <tex>\dim{A}= (10 &\times; 30)</tex>, <tex>\dim{B } = (30 &\times; 5)</tex>, <tex>\dim{C } = (5 &\times; 60)</tex>. Тогда:

:Для <tex> (''AB''A \times B)''\times C'' = </tex> будет <tex>(10&times;30&times;5\times30\times5) + (10&times;5&times;60\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500 </tex> операций:''Для <tex> A''\times(''BC''B \times C) = </tex> будет <tex>(30&times;5&times;60\times5\times60) + (10&times;30&times;60\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000 </tex> операций.

Сначала, давайте определимся, что мы хотим В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если мы перемножаем перемножить только две матрицы, то мы можем можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, мы можем можно найти минимальную стоимость используя следующий [[Динамическое программирование | рекурсивный алгоритм]]:

* Взять взять последовательность матриц и разделить её на две части.,* Найти найти минимальную стоимость перемножения на каждой подпоследовательности.,* Сложить сложить эти две стоимости и прибавить к этому стоимость перемножения двух получившихся матриц.,* Сделать сделать это для каждой возможной позиции в последовательности, в которой она может быть разделена и взять минимум среди всех результатов.

НапримерИли другими словами, если у нас есть четыре давайте обозначим через <tex>f(i, j)</tex> минимальное количество скалярных умножений для вычисления матрицы ''ABCD''<tex>M_{i..j}</tex>, то мы посчитаем для получаем следующее рекуррентное соотношение:<tex> f(''A''i,j)= \left \{ \begin{array}{ll} 0, & i=j \\ \min\limits_{i \leqslant k < j}{(''BCD'')f(i, (''AB''k)+ f(''CD'')k+1, и (''ABC''j)(''D''+ p_{i-1}p_kp_j), делая рекурсивные вызовы на отрезках ''ABC'', ''AB'', ''CD'', и ''BCD'', чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них мы выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость} & i < j \end{array} \right.</tex>

Однако, если мы применим этот алгоритм, то мы обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех скобочных последовательностей! Что пошло не так? Ответом на этот вопрос является то факт, что мы делаем значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, мы делали рекурсивный вызовОбъясняется оно просто: для того, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета ''ABC'' и ''AB''произведение матриц <tex>M_{i. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета ''ABC'' так же требует нахождения лучшей стоимости для ''AB''. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется ''n''–ому [http:j}</tex> при <tex>i=j</ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числу Каталана], да плюс вычисление для каждой правильной скобочной последовательности ''затрат'' на перемножение (то tex> не нужно ничего делать — это и есть сама матрица <tex>O(n \cdot C_n)M_i</tex>). При нетривиальном случае мы перебираем все точки разбиения матрицы <tex>NM_{i..j}</tex>­-ое число Каталана равняется на матрицы <tex> \fracM_{1i..k}</tex> и <tex>M_{nk+1..j}</tex>, ищем количество операций, необходимое чтобы их получить и затем перемножаем для получения матрицы <tex>M_{2 n \choose ni..j} </tex> или асимптотически .(Оно будет равно кол-ву операций, потраченное на решение подзадач + стоимость умножения матриц <tex> \fracM_{4^ni..k}M_{n^k+1..j}</tex>). Считаем, что размеры матриц заданы в массиве <tex>p</tex> и размер матрицы <tex>M_i</tex> равен <tex>p_{3/2i-1}\sqrt{\pi}} times p_i</tex>.

=== Восстановление ответа ===С помощью вышеописанного алгоритма Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы <tex>ABCD</tex>, то мы можем восстановить порядокпосчитаем для <tex>(A)(BCD)</tex>, в котором нам необходимо перемножать матрицы<tex>(AB)(CD)</tex>, чтобы достичь минимального количества арифметических операцийи <tex>(ABC)(D)</tex>, затрачиваемых делая рекурсивные вызовы на вычисление ответаотрезках <tex>ABC</tex>, <tex>AB</tex>,<tex>CD</tex>, и <tex>BCD</tex>, чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Когда мы узнаемТак же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, как каким дается нам нужно разбить отрезок на два подотрезкаминимальная стоимость. Однако, если применить этот алгоритм, то при восстановлении ответа мы заключаем эти два подотрезка(обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности матриц) | скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в скобки выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для <tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и передаем получившийся ответ больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше по рекурсии, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности]] ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>­-ое [[Числа Каталана | число Каталана]] равняется <tex dpi="163"> \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <tex dpi="163"> \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, а это быстро возрастающая функция, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее.

'''int''' dp[][] <font color="green">// dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)</font> '''int''' v[] <font color= Литература "green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку // Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l =0, r =n, где n {{---}} длина последовательности</font> '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r) '''if''' dp[l][r] == -1 <font color="green">// Если значение динамики не посчитано</font> '''if''' l == r - 1 dp[l][r] = 0 <font color="green"> // Если у нас подотрезок длины 1, то количество операций для перемножения равно нулю</font> '''else''' dp[l][r] = <tex>\infty</tex> '''for''' i = l + 1 '''to''' r - 1 dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r] + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r)) '''return''' dp[l][r] == См. также == *[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности ]]*[[Кратчайший путь в ациклическом графе ]]*[[Задача о расстановке знаков в выражении]]*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами | Aлгоритм Кока-Янгера-Касами ]]*[[Правильные скобочные последовательности | Правильные скобочные последовательности ]]== Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_chain_multiplication Wikipedia {{---}} Matrix chain multiplication]