Изменения
Опечатка
Например, предположим, что <tex>\dim{A}= 10 \times 30</tex>, <tex>\dim{B} = 30 \times 5</tex>, <tex>\dim{C} = 5 \times 60</tex>. Тогда:
:Для <tex> (A \times B)\times C = </tex> будет <tex>(10\times30\times5) + (10\times5\times60) = 1500 + 3000 = 4500</tex> операций:Для <tex> A \times(B\times C) = </tex> будет <tex>(30\times5\times60) + (10\times30\times60) = 9000 + 18000 = 27000</tex> операций.
Как мы видим, первый способ гораздо эффективней.
Чтобы привести пример, давайте вернемся к нашим матрицам. Если у нас есть четыре матрицы <tex>ABCD</tex>, то мы посчитаем для <tex>(A)(BCD)</tex>, <tex>(AB)(CD)</tex>, и <tex>(ABC)(D)</tex>, делая рекурсивные вызовы на отрезках <tex>ABC</tex>, <tex>AB</tex>,<tex>CD</tex>, и <tex>BCD</tex>, чтобы найти минимальную стоимость. Потом среди них выбираем лучший вариант. Так же, этот алгоритм дает не только минимальную стоимость, но и показывает наилучший способ перемножения матриц: нужно только сгрупировать тем же образом матрицы, каким дается нам минимальная стоимость.
Однако, если применить этот алгоритм, то обнаружим, что он работает также медленно, как и наивный способ перебирания всех [[Правильные скобочные последовательности | скобочных последовательностей]]. Делается значительное количество ненужной работы. Например, в выше описанном алгоритме, осуществляется рекурсивный вызов, чтобы найти наилучшую стоимость для подсчета <tex>ABC</tex> и <tex>AB</tex>. Но нахождение наилучшей стоимости для подсчета <tex>ABC</tex> так же требует нахождения лучшей стоимости для <tex>AB</tex>. Так как рекурсия растет вглубь все больше и больше, то и число ненужных повторений увеличивается. Итоговая асимптотика, как было сказано выше, равняется <tex>n</tex>–ому [[Числа Каталана | числу Каталана]], да плюс вычисление для каждой [[Правильные скобочные последовательности | правильной скобочной последовательности]] ''затрат'' на перемножение (то есть <tex>O(n \cdot C_n)</tex>). Так как <tex>N</tex>-ое [[Числа Каталана | число Каталана]] равняется <tex dpi="163"> \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} </tex> или асимптотически <tex dpi="163"> \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}} </tex>, а это быстро возрастающая функциияфункция, нам бы хотелось решение, которое работает быстрее.
=== Оптимизация динамическим программированием Псевдокод ===Одна из простых оптимизаций — это запоминание уже посчитанных значений. Каждый раз, когда считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте запоминать ответ. Если мы когда либо захотим посчитать это ещё раз, то уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего <tex>O(n^2)</tex> подотрезков, где <tex>n</tex> — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. С помощью запоминания ответа мы уменьшили асимптотику алгоритма (перебор) с <tex>O(n \cdot C_n)</tex> до <tex>O(n^3)</tex>, что является достаточно эффективным для реальных приложений.
'''int''' dp[][] <font color="green">// dp[i][j] — ответ на отрезке [i, j)</font>
'''int''' v[] <font color="green">// Массив v[] — хранит все размеры матриц по порядку
// Так как у нас размеры соседних матриц по вертикали и горизонтали совпадают, то они занесены в этот массив однократно</font> '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r) <font color="green"> // l — включая в отрезок, r — исключая из отрезка. Изначально l=0, r=n, где n{{---}} длина последовательности</font> '''int''' matrixChainMultiplication('''int''' l, '''int''' r)
'''if''' dp[l][r] == -1 <font color="green">// Если значение динамики не посчитано</font>
'''if''' l == r - 1
dp[l][r] = <tex>\infty</tex>
'''for''' i = l + 1 '''to''' r - 1
dp[l][r] = min(dp[l][r], v[l] * v[i] * v[r - 1] + matrixChainMultiplication(l, i) + matrixChainMultiplication(i, r))
'''return''' dp[l][r]
== См. также ==
*[[Задача о расстановке знаков в выражении]]
*[[Задача о выводе в контекстно-свободной грамматике, алгоритм Кока-Янгера-Касами | Aлгоритм Кока-Янгера-Касами ]]
*[[Правильные скобочные последовательности | Правильные скобочные последовательности ]]
== Источники информации ==
