Изменения
→Корректный алгоритм
<tex>D(i, j) = \left\{\begin{array}{lllc}
\min{(A, D(i - 2, j - 2) + transposeCost)}&&;\ i > 1,\ j > 1,\ S[i] = T[j - 1],\ S[i - 1] = T[j]\\A&&;\ \text{otherwise}\\
\end{array}\right.
</tex>
<tex>
A = \left\{\begin{array}{llcl}
0&&;&\ i = 0,\ j = 0\\i&* deleteCost&;&\ j = 0,\ i > 0\\j&* insertCost&;&\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&&;&\ S[i] = T[j]\\\min{(}\\left(\begin{array}{llcl}&D(i, j - 1) + insertCost\\&D(i - 1, j) + deleteCost&&\\&D(i - 1, j - 1) + replaceCost\\\end{array}\right)}&&;&\ j > 0,\ i > 0,\ S[i] \ne T[j]\\)
\end{array}\right.
</tex>
Псевдокод алгоритма:
'''int''' DamerauLevenshteinDistance(S: '''char[1..M]''', T: '''char[1..N]: '''char'''; deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost: '''int'''): d: '''int[0..M][0..N]: '''int'''
''<font color=green>// База динамики</font>''
d[0][0] = 0 '''for''' i = 0 1 '''to''' M d[i][0] = d[i- 1][0] + deleteCost
'''for''' j = 1 '''to''' N
d[0][j] = d[0][j- 1] + insertCost
'''for''' i = 1 '''to''' M
Контрпример: <tex>S =</tex> <tex>'CA'</tex> и <tex>T =</tex> <tex>'ABC'</tex>. Расстояние Дамерау-Левенштейна между строками равно <tex>2\ (CA \rightarrow AC \rightarrow ABC)</tex>, однако функция приведённая выше возвратит <tex>3</tex>. Дело в том, что использование этого упрощённого алгоритма накладывает ограничение: любая подстрока может быть редактирована не более одного раза. Поэтому переход <tex>AC \rightarrow ABC</tex> невозможен, и последовательность действий такая: <tex>(CA \rightarrow A \rightarrow AB \rightarrow ABC)</tex>.
Упрощенный алгоритм Дамерау-Левенштейна не является метрикой, так как не выполняется правило треугольника: <tex>\mathtt{DLD}('CA',\ 'AC')\ + \mathtt{DLD}('AC',\ 'ABC') \ngeqslant \mathtt{DLD}('CA',\ 'ABC')</tex>.
Условие многих практических задач не предполагает многократного редактирования подстрок, поэтому часто достаточно упрощённого алгоритма. Ниже представлен более сложный алгоритм, который корректно решает задачу поиска расстояния Дамерау-Левенштейна.
==Корректный алгоритм==
В основу алгоритма положена идея [[Динамическое программирование#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BD.D1.86.D0.B8.D0.BF_.D0.BE.D0.BF.D1.82.D0.B8.D0.BC.D0.B0.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8_.D0.BD.D0.B0_.D0.BF.D1.80.D0.B5.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.B5|динамического программирования по префиксу]]. Будем хранить матрицу <tex>D[0..M + 1][0..N + 1]</tex>, где <tex>D[i + 1][j + 1]</tex> {{---}} расстояние Дамерау-Левенштейна между префиксами строк <tex>S</tex> и <tex>T</tex>, длины префиксов {{---}} <tex>i</tex> и <tex>j</tex> соответственно.
Для учёта транспозиции потребуется хранение следующей информации. Инвариант:
Тогда если на очередной итерации внутреннего цикла положить: <tex>i' = \mathtt{lastPosition}[T[j]],\ j' = \mathtt{last}</tex>, то
<tex>D(i, j) = \min{(A, D(i', j') + (i - i' - 1) \cdot deleteCost + transposeCost + (j - j' - 1) \cdot insertCost)}</tex><tex>(*)</tex>
, где
<tex>A = \left\{\begin{array}{llcl}0&&;&\ i = 0,\ j = 0\\i&* deleteCost&;&\ j = 0,\ i > 0\\j&* insertCost&;&\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&&;&\ S[i] = T[j]\\\min{(}\\left(\begin{array}{llcl}&D(i, j - 1) + insertCost\\&D(i - 1, j) + deleteCost&&\\&D(i - 1, j - 1) + replaceCost\\\end{array}\right)}&&;&\ j > 0,\ i > 0,\ S[i] \ne T[j]\\)
\end{array}\right.
</tex>
Доказательства требует лишь формула <tex>(*)</tex>, смысл которой {{---}} сравнение стоимости перехода без использования транспозиции (<tex>(A)</tex>) со стоимостью перехода, включающего в число операций транспозицию; остальные формулы обосновываются так же, как и в доказательстве [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера|алгоритма Вагнера-Фишера]]. Но действительно, при редактировании подпоследовательности несколько раз всегда существует оптимальная последовательность операций одного из двух видов:
*Переставить местами соседние символы, затем вставить некоторое количество символов между ними;
*Удалить некоторое количество символов, а затем переставить местами символы, ставшие соседними.
Тогда если символ <tex>S[i]</tex> встречался в <tex>T[1]..T[j]</tex> на позиции <tex>j'</tex>, а символ <tex>T[j]</tex> встречался в <tex>S[1]..S[i]</tex> на позиции <tex>i'</tex>; то <tex>T[1]..T[j]</tex> может быть получена из <tex>S[1]..S[i]</tex> удалением символов <tex>S[i' + 1]..S[i - 1]</tex>, транспозицией ставших соседними <tex>S[i']</tex> и <tex>S[i]</tex> и вставкой символов <tex>T[j' + 1]..T[j - 1]</tex>. Суммарно на это будет затрачено <tex>D(i', j') + (i - i' - 1) \cdot deleteCost + transposeCost + (j - j' - 1) \cdot insertCost</tex> операций, что описано в <tex>(*)</tex>. Поэтому мы выбирали оптимальную последовательность операций, рассмотрев случай с транспозицией и без неё.
Сложность алгоритма: <tex>O\left (M \cdot N \cdot \max{(M, N)} \right )</tex>. Затраты памяти: <tex>O\left (M \cdot N \right)</tex>. Однако скорость работы алгоритма может быть улучшена до <tex>O\left (M \cdot N \right)</tex>.
Псевдокод алгоритма:
'''int''' DamerauLevenshteinDistance(S: '''char[1..M]''', T: '''char[1..N]: '''char'''; deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost: '''int'''):
''<font color=green>// Обработка крайних случаев</font>''
'''if''' (S == "")
'''else''' '''if''' (T == "")
'''return''' M
D: '''int[0..M + 1][0..N + 1]: '''int''' ''<font color=green>// Динамика</font>'' INF = (M + N: '''int''' ) * max(deleteCost, insertCost, replaceCost, transposeCost) ''<font color=green>// Большая константа</font>''
''<font color=green>// База индукции</font>''
D[0][0] = INF;
'''for''' i = 0 '''to''' M
D[i + 1][1] = i* deleteCost
D[i + 1][0] = INF
'''for''' j = 0 '''to''' N
D[1][j + 1] = j* insertCost
D[0][j + 1] = INF
lastPosition: '''int[0..количество различных символов в S и T]: '''int'''
''<font color=green>//для каждого элемента C алфавита задано значение lastPosition[C]</font>''
'''for''' i = 1 '''to''' M
last = 0: '''int'''
'''for''' j = 1 '''to''' N
i' = lastPosition[T[j]]: '''int''' j' = last: '''int'''
'''if''' S[i] == T[j]
D[i + 1][j + 1] = D[i][j]
lastPosition[S[i]] = i
'''return''' D[M + 1][N + 1]
==См. также==
