Изменения

* <tex>\rm{d}(S_1,S_2) \ge geqslant | |S_1| - |S_2| |</tex>* <tex>\rm{d}(S_1,S_2) \le leqslant max( |S_1| , |S_2| )</tex>

Для решения задачи о редакционном расстоянии, необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при* <tex>w(a, a)</tex> = <tex>0</tex>* <tex>w(a, b)</tex> = <tex>1</tex> при <tex>a\ne b</tex>* <tex>w(\varepsilon, b)</tex> = <tex>1</tex>* <tex>w(a, \varepsilon)</tex> = <tex>1</tex>

<tex>\rm{D}(i, j) = \left\{\begin{array}{llcl}0&&;&\ i = 0,\ j = 0\\i&* deleteCost&;&\ j = 0,\ i > 0\\j&* insertCost&;&\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&&;&\ S_1[i] = S_2[j]\\\rmmin{(}\\\begin{minarray}({llcl}&D}(i, j - 1) + insertCost\\\rm{&D}(i - 1, j) + deleteCost&&\\&D(i - 1, j - 1) + replaceCost\\\end{array}&;&\ j > 0,\ i > 0,\ S_1[i] \ne S_2[j]\\\rm{D}(i - 1, j - 1) + replaceCost)\\ 

</tex>,

Рассмотрим формулу более подробно. Здесь <tex>D(i, j)</tex> — расстояние между префиксами строк: первыми <tex>i</tex> символами строки <tex>S_1</tex> и первыми <tex>j</tex> символами строки <tex>S_2</tex>. Для нашей динамики должен выполняться [[Динамическое программирование|принцип оптимальности на префиксе]]. Очевидно, что редакционное расстояние между двумя пустыми строками равно нулю. Так же очевидно то, что чтобы получить пустую строку из строки длиной <tex>i</tex>, нужно совершить <tex>i</tex> операций удаления, а чтобы получить строку длиной <tex>j</tex> из пустой, нужно произвести <tex>j</tex> операций вставки. Осталось рассмотреть нетривиальный случай, когда обе строки непусты.

'''int''' '''levensteinInstruction'''('''String''' s1, '''String''' s2, '''int''' InsertCost, '''int''' DeleteCost, '''int''' ReplaceCost): D[0][0] = 0 '''fo'''r j = 1 '''to''' N D[0][j] = D[0][j - 1] + цена вставки символа S2[j]InsertCost '''for''' i = 1 '''to''' M D[i][0] = D[i - 1][0] + цена удаления символа S1[i]DeleteCost '''for''' j = 1 '''to''' N '''if''' S1[i] != S2[j] D[i][j] = min(D[i - 1][j] + цена удаления символа S1[i]DeleteCost, D[i][j - 1] + цена вставки символа S2[j]InsertCost, D[i - 1][j - 1] + цена замены символа S1[i] на символ S2[j]ReplaceCost) '''else''' D[i][j] = D[i - 1][j - 1] '''return''' D[M][N]

Алгоритм в виде, описанном выше, требует <tex>\Theta(M \cdot N)</tex> операций и такую же память, однако, если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до <tex>\Theta(\min(M,N))</tex>. Для этого надо учестьЗаметим, что после вычисления любой строки предыдущая строка больше не нужна. Более того, после для вычисления <tex>D([i, j)]</tex> не нужны также нам нужно только <tex>D([i-1]</tex>,0)поэтому будем вычислять <tex>D[i]</tex> в <tex>\dotsD[1]</tex> , а <tex>D([i-1,j-1)]</tex>. Поэтому алгоритм можно переписать какв <codetex> '''for''' i = 0 '''to''' M '''for''' j = 0 '''to''' N вычислить D[i0][j] '''if''' i </tex> 0 и j . Осталось только поменять местами <tex> 0 стереть D[i - 1][j - 1] '''return''' </tex> и <tex>D[M, N0]</codetex>.

'''int''' '''levensteinInstruction'''('''int[]''' D): '''for''' i = 0 '''to''' M '''for''' j = 0 '''to''' N вычислить D[1][j] swap(D[0], D[1]) '''return''' D[0, ][N]

: <tex>T(M,N)=MN+T(M/2,N')+T(M/2,N-N'),\ 0\le leqslant N'\le leqslant N</tex>,

: <tex>T(M,N) \le leqslant 2MN</tex>

: <tex>T(1,N) = N \le leqslant 2N</tex>Пусть для всех <tex>M' < M</tex> выполнено <tex>T(M',N') \le leqslant 2M'N'</tex>. Тогда учитывая <tex>T(M/2,N') \le leqslant 2(M/2)N'</tex>, <tex>T(M/2,N-N') \le leqslant 2(M/2)(N-N')</tex>, получим:: <tex>T(M,N)=MN+T(M/2,N')+T(M/2,N-N') \leleqslant</tex> <tex> MN+2(M/2)N'+2(M/2)(N-N')=2MN</tex>

Для вычисления последних строк матриц <tex> D, ~E </tex> можно использовать два глобальных двумерных массива размера <tex>2 \times (\min(M, N)+1)</tex>.

Т.к. мы вычисляем функцию рекурсивно, требуемый размер стека тоже следует учесть. На стек вызовов потребуется <tex>\Theta(\log(\max(M,N))</tex> памяти, потому общая оценка использования памяти будет <tex> \Theta(\min(M,N)) </tex>

''Редакционным предписанием'Редакционное предписание' называется '' (англ. ''Editorial prescription'') — последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом. Обычно действия обозначаются так: '''D''' (англ. delete) — удалить, '''I''' (англ. insert) — вставить, '''R''' (англ. replace) — заменить, '''M''' (англ. match) — совпадение.

*[http://en.wikipedia.org/wiki/Levenshtein_distance Wikipedia {{---}} Levenshtein distance]

*[http://pastie.org/5574488 Реализация рекурсивного алгоритма поиска редакционного предписания на языке Java]

*Романовский И.В. "Дискретный анализ". Третье издание. Стр. 103 - 105