Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|id=levenstain_dist
|definition=
'''Расстояние Левенштейна''' (англ. ''Levenshtein distance'') (также '''редакционное расстояние''' или '''дистанция редактирования''') между двумя строками в теории информации и компьютерной лингвистике — это минимальное количество операций вставки одного символа, удаления одного символа и замены одного символа на другой, необходимых для превращения одной строки в другую.}}
где <tex>\rm{d}(S_1,S_2)</tex> — расстояние Левенштейна между строками <tex>S_1</tex> и <tex>S_2</tex>, а <tex>|S|</tex> — длина строки <tex>S</tex>.
Расстояние Левенштейна является [[Метрическое пространство|метрикой, так как для него выполняются свойства]].Для того чтобы доказать это достаточно доказать что выполняется неравенство треугольника:* <tex>\rm{d}(S_1,S_2) = \rm{d}(S_2,S_1)</tex> (аксиома симметрии)* <tex>\rm{d}(S_1,S_3) \leqslant \rm{d}(S_1,S_2) + \rm{d}(S_2,S_3)</tex> (аксиома треугольника или неравенство треугольника)
Пусть <tex>\rm{d}(S_1,S_3) = x</tex>, <tex>\rm{d}(S_1,S_2) = y</tex>, <tex>\rm{d}(S_2,S_3) = z</tex>. <tex>x</tex> — кратчайшее редакционное расстояние от <tex>S_1</tex> до <tex>S_3</tex>, <tex>y</tex> — кратчайшее редакционное расстояние от <tex>S_1</tex> до <tex>S_2</tex>, а <tex>z</tex> — кратчайшее редакционное расстояние от <tex>S_2</tex> до <tex>S_3</tex>. <tex>y + z</tex> — какое-то расстояние от <tex>S_1</tex> до <tex>S_3</tex>, которое зависит от <tex>S_2</tex>. <tex>\rm{d}(S_1,S_3) = \rm{d}(S_1,S_2) + \rm{d}(S_2,S_3)</tex> только в тех случаях когда <tex>S_2 = S_1</tex> или <tex>S_2 = S_3</tex>. В других случаях <tex>\rm{d}(S_1,S_3) < \rm{d}(S_1,S_2) + \rm{d}(S_2,S_3)</tex>. Следовательно, выполняется неравенство треугольника.
== Разные цены операций ==
* <tex>w(a, \varepsilon)</tex> — цена удаления символа <tex>a</tex>
Для решения задачи о редакционном расстоянии, необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при
* <tex>w(a, a) = 0</tex>
* <tex>w(a, b) = 1</tex> при <tex>a\ne b</tex>
<tex>\ \rm{d}(S_1, S_2) = \rm{D}(M,N)</tex> , где
<tex>\rm{D}(i, j) = \left\{\begin{array}{llcl}0&&;&\ i = 0,\ j = 0\\i&* deleteCost&;&\ j = 0,\ i > 0\\j&* insertCost&;&\ i = 0,\ j > 0\\D(i - 1, j - 1)&&;&\ S_1[i] = S_2[j]\\\rmmin{(}\\\begin{minarray}({llcl}&D}(i, j - 1) + insertCost\\\rm{&D}(i - 1, j) + deleteCost&&\\&D(i - 1, j - 1) + replaceCost\\\end{array}&;&\ j > 0,\ i > 0,\ S_1[i] \ne S_2[j]\\\rm{D}(i - 1, j - 1) + replaceCost)\\
\end{array}\right.
</tex>,
<tex>\min(a, b, c)</tex> возвращает наименьший из аргументов.
'''if''' S1[i] != S2[j]
D[i][j] = min(D[i - 1][j] + DeleteCost,
'''else'''
D[i][j] = D[i - 1][j - 1]
=== Память ===
Алгоритм в виде, описанном выше, требует <tex>\Theta(M \cdot N)</tex> операций и такую же память, однако, если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до <tex>\Theta(N)</tex>. Заметим, что для вычисления <tex>D[i]</tex> нам нужно только <tex>D[i - 1]</tex>, поэтому будет будем вычислять <tex>D[i]</tex> в <tex>D[1]</tex>, а <tex>D[i - 1]</tex> в <tex>D[0]</tex>. Осталось только поменяем поменять местами <tex>D[1]</tex> и <tex>D[0]</tex>.
<code>
