Изменения

Обозначим количество <tex>n</tex>-значных чисел с суммой <tex>k</tex> как <tex>D_n^k</tex> (число может содержать ведущие нули). <tex>2n</tex>-значный счастливый билет состоит из двух частей: левой (<tex>n</tex> цифр) и правой (тоже <tex>n</tex> цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Зафиксируем <tex>2n</tex>-значное число с суммой <tex>k</tex> в левой части (это можно сделать <tex>D_n^k</tex> способами), для него будет существовать <tex>D_n^k</tex> возможных вариантов числа в правой части, следовательно количество счастливых билетов с суммой <tex>k</tex> в одной из частей равно <tex>(D_n^k)^2</tex>. Значит общее число билетов равно <tex>L_n = \sum_{k=0}^{9n} (D_{n}^{k})^2</tex>. Верхний индекс суммирования равен <tex>9n</tex>, так как максимальная сумма цифр в одной части билета равна <tex>9n</tex>. Также можно сопоставить счастливому билету <tex>a_1a_2\ldots a_n b_1b_2 \ldots b_n</tex> <tex>2n</tex>-значное число с суммой <tex>9n</tex>: <tex>a_1a_2\ldots a_n (9-b_1)(9-b_2) \ldots (9-b_n)</tex>, причем это соответствие взаимно-однозначно, поэтому <tex>L_n=D_{2n}^{9n}</tex>.