Изменения

'''{{Задача о числе путей в ациклическом графе''' - одна из классических задач на тему динамического программирования. В этой задаче нам дан |definition = Задан [[Основные определения теории графов|ациклический граф ]] <tex>G</tex> и две вершины <tex>s</tex> и <tex>t</tex>. Необходимо посчитать количество путей из вершины <tex>s</tex> в вершину <tex>t</tex> по рёбрам графа <tex>G</tex>.}}</noinclude><includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;">Число таких путей может быть велико даже на небольших графах, поэтому перебор всех возможных вариантов займет много времени. Однако, данную задачу можно решить гораздо быстрее с помощью динамики.<div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div><div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div></div>|<table border="0" width="100%"><tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr><tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr></table>}}</includeonly>

Небольшая модификация алгоритма [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]]. Запустим обход в глубину от вершины <tex>s</tex>. При каждом посещении вершины <tex>v</tex> проверим, не является ли она искомой вершиной <tex>t</tex>. Если это так, то ответ увеличивается на единицу и обход прекращается. В противном случае производится запуск обхода в глубину от для всех вершин, ребра в которые выходят есть ребро из <tex>v</tex>, причем он производится независимо от того, были ли эти вершины посещены ранее, или нет.

Функция <tex>\mathrm{countPaths(g, s, t)}</tex> принимает начальную вершину граф <tex>sg</tex> и конечную в виде списка смежности, начальную вершину <tex>ts</tex>. В глобальной переменной и конечную вершину <tex>answert</tex> содержится ответ.

<code> answer = 0 '''countcountPaths'''(g, v, t)

answer += '''return''' 1

s = 0 '''for'''(всех <tex>to</tex> смежных с <tex>v</tex>) '''countin'''(to)g[v] s += '''countPathscount'''(sg, to, t) answer = 0 count(s) '''return''' answers

Время работы данного алгоритма в худшем случае <tex>O(Ans)</tex>, где <tex>Ans</tex> — число путей в графе из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>. Например, на следующем графе данный алгоритм будет иметь время работы <tex>O(2^{n/2})</tex>. Если же использовать метод динамического программирования, речь о котором пойдет ниже, то асимптотику можно улучшить до <tex>O(n)</codetex>.

Время [[Файл:Dp-countpaths-example.png‎|600px| Пример графа, на котором алгоритм имеет время работы данного алгоритма в худшем случае <tex>O(Ans2^{n/2})</tex>, где <tex>Ans</tex> - количество путей в графе из <tex>s</tex> в <tex>t</tex>.]]

Пусть <tex>P(v)</tex> - количество — число путей от вершины <tex> s </tex> до вершины <tex>v</tex>.Можно заметить, что Тогда <tex>P(v)</tex> зависит только от вершин, ребра из которых входят в <tex>v</tex>. Тогда <tex>P(v) = \sum\limits_{c}P(c)</tex> таких <tex>c</tex>, что <tex>\exists</tex> есть ребро из <tex>c</tex> в <tex>v</tex>. Мы свели нашу задачу к более мелким меньшим подзадачам, причем мы также знаем, что <tex>P(s) = 1</tex>. Это позволяет решить задачу методом динамического программирования.

Пусть <tex>s</tex> - — стартовая вершина, а <tex>t</tex> - — конечная, для нее и посчитаем ответ. Будем поддерживать массив <tex>d</tex>, где <tex>d[v]</tex> - количество — число путей из вершины <tex> s </tex> до вершины <tex>v</tex> и массив <tex>w</tex>, где <tex>w[v] = true</tex>, если ответ для вершины <tex>v</tex> уже посчитан, и <tex>w[v] = false</tex> в противном случае. Изначально <tex>w[i] = false</tex> для всех вершин <tex>i</tex>, кроме <tex>s</tex>, а <tex>d[s] = 1</tex>. Функция <tex>\mathrm{count(v)}</tex> будет возвращать ответ для вершины <tex>v</tex>. Удобнее всего это реализовать в виде рекурсивной функции с помощью ленивой рекурсии, тогда запоминанием. В этом случае значения массива <tex>d</tex> будут вычисляться по мере необходимости, а засчет запоминания результатов они и не будут считаться лишний раз:

\sum\limits_{c|cv \in E}count(c), & w[v]=false

<code> '''count'''(g, v)

'''return''' d[v]

w[v] = ''true'' '''for'''(всех <tex>c</tex> смежных с <tex>'''in''' g[v</tex>)] sum += '''count'''(g, c)

'''countPaths'''(g, s, t)

w[s] = ''true''

Значение функции <tex>\mathrm{count(v)}</tex> считается для каждой вершины один раз, а внутри нее рассматриваются все такие ребра <tex>\{e\ |\ end(e) = v\}</tex>. Всего таких ребер для всех вершин в графе <tex>O(E)</tex>, следовательно, время работы алгоритма в худшем случае оценивается как <tex>O(V+E)</tex>, где <tex>V</tex> - количество — число вершин графа, <tex>E</tex> - количество — число ребер.

Сначала функция <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана от вершины <tex>T</tex>. Ответ для нее еще не посчитан (<tex>w[T] = false</tex>), следовательно <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана от вершин <tex>3</tex> и <tex>4</tex>. Для вершины <tex>3</tex> ответ также не посчитан (<tex>w[3] = false</tex>), следовательно <tex>\mathrm{count}</tex> будет вызвана уже для вершин <tex>2</tex> и <tex>S</tex>. А вот для них ответ мы уже можем узнать: для <tex>2</tex> он равен <tex>d[S]</tex>, так как это <tex>S</tex> - единствнная — единственная вершина, ребро из которой входит в нее. Непосредственно для <tex>S</tex> ответ нам также известен. На текущий момент таблица будет выглядеть следующим образом:

В самом начале для вычисления <tex>d[T]</tex> нам требовались значения <tex>d[3]</tex> и <tex>d[4]</tex>. Теперь нам известно значение <tex>d[3]</tex>, поэтому проследим за тем, как будет вычисляться <tex>d[4]</tex>. <tex>\mathrm{d[4] = count(3) + count(2) + count(1)}</tex>, но <tex>w[3] = true, w[2] = true</tex>, следовательно значения <tex>d[3]</tex> и <tex>d[2]</tex> мы уже знаем, и нам необходимо вызвать <tex>\mathrm{count(1)}</tex>. Ответ для этой вершины равен <tex>d[S]</tex>, так как это единственная вершина, ребро из которой входит в <tex>1</tex>. Обновим соответствующие значения массивов <tex>d</tex> и <tex>w</tex>:

Наконец, вычислим <tex>d[T] = d[3] + d[4] = 2 + 4 = 6</tex> и обновим таблицы <tex>d</tex> и<tex>w</tex>: