Изменения
(1) и (2) в теореме Лагранжа, доработано следствие из неё
форме Ньютона.
Докажем от противного, что таких полиномов не более одного. Допустим, что существует еще один такой полином <tex>P_{2,n}\tilde P_n</tex>.Рассмотрим полином <tex>M_n = P_{1,n} P_n - P_{2,n}\tilde P_n</tex>. Тогда <tex>M_n(x_k) = y_k - y_k = 0, k = \overline{0,n}</tex>. , То то есть этот полином имеет <tex>n+1</tex> корень, но <tex>\deg M_n \le n</tex>. Получили противоречие.
<tex>\omega_n(x) \ne 0</tex>, так как <tex>x \ne x_j</tex>.
<tex>k = \frac{f(x) - L_n(x)}{\omega_n(x)}\quad (1)\, .</tex>
Итак, при выбранном <tex>k</tex> будет <tex>g(x_j) = 0</tex>, <tex>g(x) = 0</tex>, то есть <tex>g</tex> принимает нулевые значения в <tex>n + 2</tex> точках. Очевидно,
<tex>0 = g^{(n + 1)}(c_x) = f^{(n + 1)}(c_x) - k\cdot (n + 1)!</tex>
<tex>k = \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!}$, $k = \frac{f(x) - L_nquad (x2)}{\omega_n(x)}, .</tex>
Утверждение теоремы напрямую следует из этих двух равенств<tex>(1)</tex> и <tex>(2)</tex> .
}}
=== Следствие ===
В условии условиях теоремы было выполняется неравенство <tex>|f(x) - L_n(x)| \leq \frac{M_{n + 1}}{(n + 1)!} (b - a)^{n + 1}</tex>, где <tex>M_{n + 1} = \sup\limits_{\langle a; b \rangle} |f^{(n + 1)}|.</tex> Оно следует из того, что для всех <tex>x</tex> на <tex>\langle a; b \rangle\,|x - x_j| \le b - a.</tex>
=== Замечание ===
Следует понимать, что на самом деле какую бы систему узлов мы не взяли на <tex>\langle a; b \rangle</tex> как по числу
точек в ней, так и по характеру распределения значений, для этого промежутка всегда можно построить интерполяционный многочлен,
который будет отличаться от неё сколь угодно много(нипанянтна — прим. наборщика)
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
