1632
правки
Изменения
м
«Дано «Дана функция <tex>f(x)</tex>. Найти полином <tex>T_n</tex> степени не выше <tex>n</tex> такой, что <tex>f^{(k)}(x_0) = T_n^{(k)}(x_0), k = \overline{0, n}</tex>».
rollbackEdits.php mass rollback
Для его построения обозначим за <tex>\omega_n(x) = \prod\limits_{j = 0}^n (x - x_j)</tex>. Это полином степени <tex>n + 1</tex>.
Составим выражение <texdpi = "150">\frac{\omega_n(x)}{(x - x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>, <tex>x \ne x_j</tex>. В этом случае дробь корректно определена.При <tex>x \to x_j</tex> получаем неопределённость <texdpi = "150">\frac00</tex>. Раскроем её по правилу Лопиталя: <texdpi = "150">\frac{\omega'_n(x)}{\omega_n'(x_j)} = 1</tex> при <tex>x \to x_j</tex>.
Тогда доопределим по непрерывности дробь единицей. Но при <tex>x \ne x_j</tex> — это полином <tex>n</tex>-й степени. Значит,
<texdpi = "150">\Phi_j(x) = \frac{\omega_n(x)}{(x-x_j) \cdot \omega_n'(x_j)}</tex>.
Тогда
Замечание: из формулы для фундаментальных полиномов <tex>\Phi_j(x)</tex> легко записать в развёрнутом виде:
<texdpi = "150">
\Phi_j(x) = \frac
{(x-x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{j- 1})(x - x_{j + 1})\cdots(x - x_n)}
== Трактовки и другие задачи ==
Выведенную ранее [[Формула Тейлора для произвольной функции|формулу Тейлора]] можно трактовать следующим образом:
Ранее мы обнаружили, что это
</tex>.
Сейчас будет доказана теорема , аналогичная теореме об интерполяционном полиноме Лагранжа, после чего станет ясно, что это задачи одного класса.
Во втором случае это изложено на языке производных, а в первом — через значения функции в точках.
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема на <tex>\langle a; b\rangle</tex>. На этом промежутке задана система узлов.
Тогда для соответственного интерполяционного полинома Лагранжа выполняется равенство
<tex>f(x) = L_n(x) + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n+1)!} \cdot \omega_n(x)</tex>, где <tex>c_x</tex> — некоторая точка из <tex>\langle a; b \rangle</tex>, зависящая от <tex>x</tex>.
|proof=
Случай <tex>x = x_k</tex> тривиален.
Следует понимать, что на самом деле какую бы систему узлов мы не взяли на <tex>\langle a; b \rangle</tex> как по числу
точек в ней, так и по характеру распределения значений, для этого промежутка всегда можно построить непрерывную функцию, для которой ее интерполяционный многочлен, который будет отличаться от неё сколь угодно много (нипанянтна — прим. наборщика)
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
