Замкнутость разрешимых и перечислимых языков относительно теоретико-множественных и алгебраических операций

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Теорема:
Языки [math] L_1, L_2 [/math] — разрешимы, тогда следующие языки разрешимы:
  • Объединение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \cup L_2)[/math]
  • Пересечение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \cap L_2)[/math]
  • Дополнение [math]L_1\ (\overline{L_1})[/math]
  • Разность [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \backslash L_2)[/math]
  • Декартово произведение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \times L_2)[/math]
  • Замыкание Клини [math]L_1\ (L_1^*)[/math]
  • Конкатенация [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 L_2)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] — разрешающие программы для языков [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] соответственно. Для доказательства достаточно написать разрешающую программу (разрешитель) для каждого случая.

  • Разрешающая программа для языка [math] L_1 \cup L_2 :[/math]
[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \lor (p_2(x) == 1)[/math] 
  • Для языка [math] L_1 \cap L_2 :[/math]
[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 1)[/math] 
  • Для языка [math] \overline{L_1} :[/math]
[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 0)[/math]
  • Для языка [math] L_1 \backslash L_2 :[/math]
[math]p(x)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 0)[/math] 
  • Для языка [math] L_1 \times L_2 :[/math]
[math]p(\langle x, y \rangle)[/math]
    return [math](p_1(x) == 1) \land (p_2(y) == 1)[/math] 
  • Для языка [math]L_1^* :[/math]
[math]p(x)[/math]
    forall [math]{\{x_i\}}_{i=1}^n \in P [/math], где [math]P[/math] — множество всех возможных разбиений слова [math]x[/math] на подстроки
        if [math](p_1(x_1) == 1) \land (p_1(x_2) == 1) \land \ ... \ \land (p_1(x_n) == 1)[/math] 
            return 1
    return 0  

Разрешитель будет перебирать все возможные разбиения данного ему слова на подстроки и для каждой проверять принадлежность [math] L_1 [/math]. Если хотя бы в одном разбиении все подстроки будут принадлежать [math] L_1 [/math], то все слово принадлежит [math] L_1^* [/math], иначе — не принадлежит.

  • Для языка [math] L_1 L_2 : [/math]
[math]p(x)[/math]
    forall [math]{\{x_i\}}_{i=1}^2 \in P [/math], где [math]P[/math] — множество всех возможных разбиений слова [math]x[/math] на две подстроки
        if [math](p_1(x_1) == 1) \land (p_2(x_2) == 1)[/math] 
            return 1
    return 0  
Разрешитель будет перебирать все возможные разбиения на два слова и проверять принадлежность первого слова [math] L_1 [/math] и второго слова [math] L_2 [/math]. Если хотя бы для одного разбиения оба разрешителя вернут 1, то слово принадлежит [math] L_1 L_2 [/math], иначе — не принадлежит.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Языки [math] L_1, L_2 [/math] — перечислимы, тогда следующие языки перечислимы:
  • Объединение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \cup L_2)[/math]
  • Пересечение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \cap L_2)[/math]
  • Декартово произведение [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \times L_2)[/math]
  • Замыкание Клини [math]L_1\ (L_1^*)[/math]
  • Конкатенация [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 L_2)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] — полуразрешающие программы для языков [math]L_1[/math] и [math]L_2[/math] соответственно. Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу для каждого случая. Заметим, что [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] могут зависнуть при использовании в полуразрешающей программе для соответствующего языка, но это допустимо.

  • Полуразрешающая программа для языка [math] L_1 \cup L_2 :[/math]
[math]p(x)[/math]
     for [math]k = 1 \ .. \ \infty[/math]
         if [math] (p_1(x)|_k == 1) \lor (p_2(x)|_k == 1) [/math]      
             return 1 
  • Для языка [math] L_1 \cap L_2 :[/math]
[math]p(x)[/math]
    if [math] (p_1(x) == 1) \land (p_2(x) == 1) [/math]      
        return 1 
  • Для языка [math] L_1 \times L_2 :[/math]
[math]p(\langle x, y \rangle)[/math]
    if [math] (p_1(x) == 1) \land (p_2(y) == 1) [/math]      
        return 1 
  • Для языка [math] L_1^* :[/math]
[math]p(x)[/math]
    for [math]k = 1 \ .. \ \infty[/math]
        forall [math]{\{x_i\}}_{i=1}^n \in P [/math], где [math]P[/math] — множество всех возможных разбиений слова [math]x[/math] на подстроки
            if [math](p_1|_k(x_1) == 1) \land (p_1|_k(x_2) == 1) \land \ ... \ \land (p_1|_k(x_n) == 1)[/math]
                return 1
  • Для языка [math] L_1 L_2 : [/math]
[math]p(x)[/math]
    for [math]k = 1 \ .. \ \infty[/math]
        forall [math]{\{x_i\}}_{i=1}^2 \in P [/math], где [math]P[/math] — множество всех возможных разбиений слова [math]x[/math] на две подстроки
            if [math](p_1|_k(x_1) == 1) \land (p_2|_k(x_2) == 1)[/math]
                return 1
 
[math]\triangleleft[/math]


Теорема:
Языки [math] L_1, L_2 [/math] — перечислимы, тогда следующие языки могут быть не перечислимы:
  • Дополнение [math]L_1\ (\overline{L_1})[/math]
  • Разность [math]L_1[/math] и [math]L_2\ (L_1 \backslash L_2)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим язык [math] \overline{L_1} [/math]. Предположим, что он перечислим. Тогда, имея какое-либо слово, мы можем одновременно запустить перечислители для [math] L_1 [/math] и [math] \overline{L_1} [/math]. В какой-то момент времени слово появится либо в выводе перечислителя для [math] L_1 [/math], либо в выводе перечислителя для [math] \overline{L_1} [/math]. Тогда получится что [math] L_1 [/math] разрешим, так как про любое слово мы можем узнать принадлежит оно [math] L_1 [/math] или не принадлежит. Но мы знаем, что существуют перечислимые, но не разрешимые языки, следовательно, язык [math] \overline{L_1} [/math] может быть не перечислим.

Теперь рассмотрим [math] L_1 \backslash L_2 [/math]. В качестве [math] L_1 [/math] возьмем язык, состоящий из всех слов. Тогда получится, что язык [math] L_1 \backslash L_2 [/math] это [math] \overline{L_2} [/math]. Про язык [math] \overline{L_2} [/math] мы знаем, что он перечислим не всегда, следовательно и язык [math] L_1 \backslash L_2 [/math] также не всегда перечислим.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999