Изменения

{{Определение|definition='''Идеальная хеш-функция'''Двойное хеширование(англ. ''perfect hash function' – метод борьбы с возникающими коллизиями при ') — [[Открытое_и_закрытое_хешированиеХеш-таблица#Закрытое хешированиеХеширование|закрытом хешированиихеш-функция]], в котором хеш-таблица заполняется равномерней чем при которая без [[Открытое_и_закрытое_хеширование#Линейное разрешение Разрешение коллизий|линейном разрешении коллизий]] коллизий, что способствует уменьшению размеров кластеровотображает различные элементы из множества объектов на множество ключей за <tex>O(1)</tex> времени в худшем случае.}}

==Принцип двойного хешированияОсновная идея ==При двойном хешировании используются две независимые хеш-функции <tex> h_1Идеальное хеширование используется в задачах со статическим множеством ключей (kт.е. после того, как все ключи сохранены в таблице, их множество никогда не изменяется) </tex> и <tex> h_2(k) </tex>для обеспечения хорошей асимптотики даже в худшем случае. Пускай <tex> k </tex> это наш ключПри этом мы можем дополнительно хотеть, <tex> m </tex> чтобы размер нашей таблицы, <tex> mod \; m </tex> это остаток зависел от деления на <tex> m </tex>, тогда сначала исследуется ячейка с адресом <tex> h_1(k) </tex>, если она уже занята рассматривается <tex> (h_1(k) + h_2(k)) \; mod \; m </tex>, затем <tex> (h_1(k) + 2 \cdot h_2(k)) \; mod \; m </tex> и т.дколичества ключей линейно. В общем случае идёт проверка последовательности ячеек <tex> (h_1(k) + i \cdot h_2(k)) \; mod \; m </tex> где <tex> i = (0, 1, \; ... \;, m - 1) </tex>

==Выбор В таком хешировании для доступа к данным потребуется лишь вычисление хеш-функций==<tex> h_1 </tex> может быть обычной хеш-функцией(одной или нескольких), что делает данный подход наибыстрейшим для доступа к статическим данным. Однако что бы Данная технология применяется в случаях коллизий была проверенна вся хеш-таблицаразличных словарях и базах данных, <tex> h_2 </tex> должна возвращать значения:*не равные <tex> 0 </tex>*независимые от <tex> h_1 </tex>*взаимно простые с величиной хеш-таблицыв алгоритмах со статической (известной заранее) информацией.

НапримерБудем использовать двухуровневую схему хеширования с универсальным хешированием на каждом уровне.=== Первый уровень ===Используется тот же принцип, если размер таблицы равен что и в случае хеширования с цепочками: <tex> m n</tex>, то ключей хешируются в качестве <tex> h_2 m</tex> можно использовать функцию вида ячеек с использованием хеш-функции <tex> h_2h(k) = ((a\cdot k +b) \; mod bmod p) \; (bmod m</tex>, случайно выбранной из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | семейства универсальных хеш-1) + 1 функций]] <tex>H_{p,m}</tex>, где <tex>p</tex> — простое число, превышающее <tex>m</tex>.

[[Файл: Вставка при двойном хэшировании=== Второй уровень ===На данном уровне вместо создания списка ключей будем использовать вторичную хеш-таблицу <tex>S_j</tex>, хранящую все ключи, хешированные функцией <tex>h</tex> в ячейку <tex>j</tex>, со своей функцией <tex>h_j(k)=((a_j\cdot k + b_j) \bmod p) \bmod m_j</tex>, выбранной из множества <tex>H_{p,m_j}</tex>.svgПутем точного выбора хеш-функции <tex>h_j</tex> мы можем гарантировать отсутствие коллизий на этом уровне. Для этого требуется, чтобы размер <tex>m_j</tex> хеш-таблицы <tex>S_j</tex> был равен квадрату числа <tex>n_j</tex> ключей, хешированных функцией <tex>h</tex> в ячейку <tex>j</tex>.jpeg|thumb|right|Вставка при двойном хешировании]]

{{Теорема|statement=Если <centertex>n</tex> ключей сохраняются в хеш-таблице размером <tex>m=n^2</tex> c использованием хеш-функции <tex> h(k</tex>, случайно выбранной из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального множества хеш-функций]],i) то [[Математическое_ожидание_случайной_величины | математическое ожидание]] числа коллизий не превышает <tex dpi= (h_1(k) + i "180">{1 \cdot h_2(k)) over 2}</tex>.|proof=Всего имеется <tex>\; mod dbinom{n}{2}</tex> пар ключей, которые могут вызвать коллизию. Если хеш-функция выбрана случайным образом из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального семейства хеш-функций]] <tex>H</tex>, то для каждой пары вероятность возникновения коллизии равна <tex dpi="180">{1 \; 13 over m}</tex>. Пусть <tex>X</tex> — [[Дискретная_случайная_величина |случайная величина]], которая подсчитывает количество коллизий. Если <tex>m = n^2</tex>, то [[Математическое_ожидание_случайной_величины | математическое ожидание]] числа коллизий равно<tex>E[X] = </centertex> <tex dpi="180"> \binom{n}{2} \cdot {1 \over n^2} = {n^2-n \over 2} \cdot {1 \over n^2} < {1 \over 2}</tex>}}Это является очень хорошим результатом, если хотя бы вспомнить на примере [[Хеш-таблица#Введение | парадокса дней рождения]] о том, что вероятность коллизий растет крайне быстро по сравнению с размером хеш-таблицы.

{{Теорема|statement=Если мы сохраняем <tex>n</tex> ключей в хеш-таблице размеров <tex>m=n</tex> c использованием хеш-функции <tex>h</tex>, выбираемой случайным образом из универсального множества хеш-функций, то <tex>E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j^2 \right] < 2n<center/tex>, где <tex>n_j</tex> — количество ключей, хешированных в ячейку <tex>j</tex>.|proof=<tex> h_1E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j^2 \right] =</tex> <tex> E\left[ \displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} (kn_j + 2 \dbinom{n_j}{2}) \right] = </tex> <tex> E\left[ \displaystyle \sum_{j= k 0}^{m-1} n_j\right] + 2E\left[\; mod displaystyle \; 13 sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2}\right] = </tex><tex> E\left[n\right] + 2E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2}\right] = n + 2E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} \dbinom{n_j}{2} \right]</centertex>

<center>Первый переход в равенстве мы совершили благодаря формуле <tex> h_2(k) a^2 = 1 a + k 2\; mod cdot\; 11 dbinom{a}{2}</tex></center>. Далее мы воспользовались свойствами [[Математическое_ожидание_случайной_величины | математического ожидания]], в частности - линейности.

Мы хотим вставить ключ 14. Изначально Очевидно, что <tex> i \displaystyle \sum_{j= 0 }^{m-1} \dbinom{n_j}{2}</tex>. Тогда - просто общее количество коллизий, поэтому по свойству универсального хеширования математическое ожидание значения этой суммы не превышает<texdpi="180"> h(14,0) \binom{n}{2}{1 \over m} = {n(h_1(14) + 0\cdot h_2(14)n-1) \; mod \; 13 over 2m} = {n-1 \over 2}</tex>. Но ячейка с индексом 1 занята, поэтому увеличиваем А так как <tex> i m = n</tex> на 1 и пересчитываем значение хеш-функции. Делаем так, пока не дойдем до пустой ячейки. При то<tex> i E\left[\displaystyle \sum_{j= 0}^{m-1} n_j^2 \right] \leqslant </tex> получаем <texdpi="150"> h(14,2) = (h_1(14) n + 2\cdot h_2(14)) {n-1 \; mod \; 13 over 2} = 9 2n - 1 < 2n</tex>, ч. Ячейка с номером 9 свободна, значит записываем туда наш ключт.д.}}Теперь выведем 2 следствия из этой теоремы.

Для того{{Теорема|statement=Если мы сохраняем <tex>n</tex> ключей в хеш-таблице размером <tex>m=n</tex> с использованием хеш-функции <tex>h</tex>, чтобы последовательность исследования могла охватить всю таблицувыбираемой случайным образом из [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального множества хеш-функций]], значение и устанавливаем размер каждой вторичной хеш-таблицы равным <tex> h_2 m_j=n_j^2</tex> должно быть взаимно простым с размером таблицы<tex>(j=0,1,.. Есть два удобных способа это сделать. Первый состоит в том, что m-1)</tex>, то математическое ожидание количества необходимой для вторичных хеш-таблиц в качестве размера таблицы используется простое число, а схеме идеального хеширования памяти не превышает <tex> h_2 2n</tex> возвращает натуральные числа, меньшие .|proof=Поскольку <tex> m m_j=n_j^2</tex>. Второй - размер таблицы является степенью двойки, а для <tex> h_2 j=0,1,...,m-1</tex> возвращает нечетные значения., согласно предыдущей теореме:

Таким образом, основная особенность двойного хеширования состоит в том, что при различных <tex> k E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} m_j \right] = E\left[\displaystyle \sum_{j=0}^{m-1} n_j^2 \right] < 2n</tex> пара <tex> (h_1(k),h_2(k)) </tex> дает различные последовательности ячеек для исследованияч.т.д.

Так же у нас есть таблица {{Теорема|statement=Если мы сохраняем <tex> table n</tex> величиной ключей в хеш-таблице размером <tex> m =n</tex> состоящая с использованием хеш-функции <tex>h</tex>, выбираемой случайным образом из объектов типа [[Универсальное_семейство_хеш-функций | универсального множества хеш-функций]], и устанавливаем размер каждой вторичной хеш-таблицы равным <tex>m_j=n_j^2</tex> <tex>(j=0,1,...,m-1)</tex>, то вероятность того, что общее количество необходимой для вторичных хеш-таблиц памяти не менее <tex>4n</tex>, меньше чем <texdpi="180"> item {1 \over 2}</tex>.|proof=Применим [[Неравенство Маркова| неравенство Маркова]] <tex>P(X \geqslant t) \leqslant E[X]/t</tex>

===Вставка===Пусть <pretex>insert(item)X=\displaystyle \sum_{ x = h1(item.key) y = h2(item.key) for (i j= 0; i < m; i++){ if (table[x] == null)}^{ table[x] = item return } x = (x + y) mod m -1} error() m_j<//ошибка, требуется увеличить размер таблицы}tex> и <tex>t=4n</pretex>.

===Поиск===Тогда <pretex>search(key)P \left \{\displaystyle \sum_{ x = h1(key) y = h2(key) for (i j= 0; i < }^{m; i++)-1} m_j \geqslant 4n \right \} \leqslant E\left[\displaystyle\sum_{ if (table[x] !j= null) if (table[x].key == key) return table[x] else return null x = (x + y) mod 0}^{m } return null-1}mj\right]</pre> ==Реализация с удалением==Что бы наша хеш-таблица поддерживала удаление, требуется добавить массив <tex>deleted</texdpi="150"> типов {1 \over 4n} <tex>bool</tex>, равный по величине массиву <tex>table</tex>. Теперь при удалении мы просто будем помечать наш объект ''как удалённый'', а при добавлении как ''не удалённый'' и замещать новым добавляемым объектом. При поиске, помимо равенства ключей, мы смотрим, удалён ли элемент, если да, то идём дальше. ===Вставка==dpi=<pre"150">insert(item){ x = h1(item.key) y = h2(item.key) for (i = 0; i < m; i++){ if (table[x] 2n \over 4n} == null || deleted[x]){ table[x] = item deleted[x] = false return } x = (x + y) mod m } error() //ошибка, требуется увеличить размер таблицы1 \over 2}</pretex> ===Поиск===<pre>search(key){ x = h1(key) y = h2(key) for (i = 0; i < m; i++){ if (table[x] != null) if (table[x], ч.т.key == key && !deleted[x]) return table[x] else return null x = (x + y) mod m } return null}</pre> ===Удаление===<pre>remove(key){ x = h1(key) y = h2(key) for (i = 0; i < m; i++){ if (table[x] != null) if (table[x]д.key == key) deleted[x] = true else return x = (x + y) mod m }}</pre>

* [[Поиск_свободного_места_при_закрытом_хешировании|Поиск свободного места при закрытом хешированииРазрешение коллизий]] == Литература ==* Бакнелл Дж. М. '''Фундаментальные алгоритмы и структуры данных в Delphi''', ''2003''* Кнут Д. Э. '''Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск''', ''2-е издание, 2000''* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. '''Алгоритмы. Построение и анализ''', ''2010''* Седжвик Р. '''Фундаментальные алгоритмы на C. Части 1-4. Анализ. Структуры данных. Сортировка. Поиск''', ''2003''

==СсылкиИсточники информации==* Т. Кормен. «Алгоритмы. Построение и анализ» второе издание, Глава 11.5, стр. 308* Д.Э. Кнут. «Искусство программирования: Сортировка и поиск" Том 3, Глава 6.4, стр. 563* [http://en.wikipedia.org/wiki/Double_hashing Double_hashingPerfect_hash_function Wikipedia — Perfect hash function]* [http://rainwww.ifmocs.rucmu.edu/catafs/view.phpcs/visacademic/hashtablesclass/hash15451-2001-2 Пример хеш таблицыs07/www/lecture_notes/lect0215.pdf Universal and Perfect Hashing]* [http://researchnord.csorg.vt.eduua/static/AVresearchcourse/hashingalgo_2009/doublelecture8.pdf Универсальное хэширование.php Пример хеш таблицы с двойным хешированиемИдеальное хэширование]