748
правок
Изменения
→Кодирование Хэмминга
Легко понять, что если в одном бите из строки допущена ошибка, то с помощью дописанных <tex>k</tex> пар бит можно точно определить, какой именно бит ошибочный. Это объясняется тем, что каждая пара определяет один бит номера ошибочного бита в строке. Всего пар <tex>k</tex>, следовательно мы имеем <tex>k</tex> бит номера ошибочного бита, что вполне достаточно: общее число бит строки не превосходит <tex>2^k</tex>.
Теперь заметим, что в случае наличия ошибки в исходной строке, ровно один бит в каждой паре будет равен единице. Тогда можно оставить только один бит из пары. Однако этого будет недостаточно, поскольку если только один добавленный бит не соответствует строке, то нельзя понять, ошибка в нём или в строке. На этот случай можно добавить ещё один контрольный бит {{---}} <tex>xor\mathrm X \mathrm O \mathrm R</tex> всех битов строки.
Итого, увеличивая код длиной <tex>n</tex> на <tex>\log_2 n + 1</tex>, можно обнаружить и исправить одну ошибку.
