Изменения

Пусть <tex>\Sigma</tex> - исходный алфавит, <tex>C: \Sigma \to B^m</tex> - кодирование, <tex>B=(0,1)</tex>

Тогда легко понять, что код, полученный преобразованием <tex>C</tex> может исправлять <math>~[</math><tex>{d-1}\over{2}</tex><math>~]</math> и обнаруживать <tex>[d-1]</tex> ошибок. Действительно, при любом натуральном количестве допустимых ошибок <tex>r</tex> любой код <tex>S</tex> образует вокруг себя проколотый шар таких строк <tex>S_i</tex>, что <tex>0<d(S,S_i)<=r</tex>. Если этот шар не содержит других кодов (что выполняется при <tex>r<d</tex>) , то можно утверждать, что если в него попадает строка, то она ошибочна. Аналогично можно утверждать, что если шары всех кодов не пересекаются (что выполняется при <tex>r\le</tex><tex>{d-1}\over{2} </tex>), то попавшую в шар строку <tex>S_i</tex> можно считать ошибочной и тождественно исправить на центр шара <tex>-</tex> строку <tex>S</tex>.