Изменения

|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''иммунным''' (англ. ''immune set'' ), если оно бесконечно и не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.

|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''простым''' (англ. '' simple set'' ), если <tex>A</tex> — перечислимое, бесконечное и дополнение <tex>\overline{A}</tex> {{---}} иммунное.

{{==Теорема|statementо существовании простого множества=Существует простое множество.|proof=

<tex>q</tex>(): '''for ''' <tex>(TL = 1\ \ldots +\infty)</tex> '''for ''' <tex>(i = 1\ \ldots TL)</tex> запустить <tex>i</tex>-ую в [[Главные нумерации|главной нумерации]] программу на <tex>TL</tex> шагов напечатать первый <tex>x</tex>, который вывела эта программа, такой что <tex>x \geqslant 2 i;</tex> ничего не печатать, если такого числа не найдется. 

В По построению, для любого множества <tex> B </tex> в <tex>E(q)</tex> будет содержаться первый его элемент множества <tex>B</tex> не меньший <tex>2 i</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} номер перечислителя множества <tex>B</tex>.

  ===Лемма 2===

Cуществует [[#Лемма 1|По первой лемме]] существует элемент <tex>B</tex>, принадлежащий <tex>E(q)</tex>, и, следовательно, не принадлежащий <tex>\overline{E(q)}</tex>.

  ===Лемма 3==={{Лемма|id= ==lemma==|about=3

Среди чисел от <tex>1</tex> до <tex>k</tex> множеству <tex>E(q)</tex> принадлежат не более <tex>\fracdfrac{k}{2}</tex>.Следовательно <tex>\overline{E(q)}</tex> принадлежат не менее <tex>\fracdfrac{k}{2}</tex>.

Вернемся к доказательству теоремы[[#Лемма 2|Из леммы (2)]] и [[#Лемма3|из леммы (3)]] следует, что <tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} иммунно.По построению <tex>E(q)</tex> перечислимо, его дополнение иммунно и, [[#Лемма 3|по лемме (3)]], бесконечно, а значит {{---}} оно простое.

Получаем}}Простые множества являются примерами перечислимых множеств, не являющихся <tex>m</tex>-полными<ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012. с. 58. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. Именно так и возникло понятие простого множества: Пост искал пример перечислимого неразрешимого множества, которое не было бы <tex>m</tex>-полным <ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012.c. 62. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. .

<tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} иммунно== См.также ==*[[Перечислимые языки]]<tex>E(q)</tex> {{*[[m---}} простое.сводимость]]== Примечания ==

== Литература Источники информации ==