Изменения
йдется
{{Определение
|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''иммунным'''(англ. ''immune set''), если <tex>A</tex> — бесконечное, для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex>, <tex>B \not \subset A</tex>оно бесконечно и не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.
}}
{{Определение
|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''простым'''(англ. '' simple set''), если <tex>A</tex> — перечислимое, бесконечное, и дополнение <tex>\overline{A}</tex> — {{---}} иммунное.
}}
Рассмотрим все программы.
Для некоторого [[Перечислимые_языки | перечислимого языка, ]] какая-то из них является его перечислителем.
Рассмотрим программу <tex>q</tex>:
<tex>q</tex>(): '''for ''' <tex>(TL = 1\ \ldots +\infty)</tex> '''for ''' <tex>(i = 1\ \ldots TL)</tex> запустить <tex>i</tex>-ую в [[Главные нумерации|главной нумерации]] программу на <tex>TL</tex> шагов напечатать первый <tex>x</tex>, который вывела эта программа, такой что <tex>x \geqslant 2 i;</tex> ничего не печатать, если такого числа не найдется.
Обозначим <tex>E(q)</tex> — множество, которое перечисляет эта программа.
Докажем несколько лемм, из которых будет очевидна правильность утверждения теоремы.
===Лемма 1===
Необходимо, чтобы перечислимое множество <tex>E(q)</tex> имело иммунное дополнение. Это означает, что <tex>E(q)</tex> должно пересекаться с любым бесконечным перечислимым множеством.
{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=1
|statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex> существует его элемент, принадлежащий <tex>E(q)</tex>.
|proof=
По построению, для любого множества <tex> B </tex> в <tex>E(q)</tex> будет содержаться первый его элемент не меньший <tex>2 i</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} номер перечислителя множества <tex>B</tex>.
}}
===Лемма 2===
{{Лемма
|id= ==lemma==|about=2 |statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex>верно, что <tex>B \not \subset \overline{E(q)}</tex>.|proof=[[#Лемма 1|По первой лемме]] существует его элемент <tex>B</tex>, принадлежащий <tex>E(q)</tex>, и, следовательно, не принадлежащий <tex>\overline{E(q)}</tex>.}}===Лемма 3==={{Лемма |id= ==lemma==|about=3|proofstatement=В <tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} бесконечно.|proof=Среди чисел от <tex>1</tex> до <tex>k</tex> будет содержаться первый элемент множества множеству <tex>BE(q)</tex> принадлежат не превосходящий более <tex>\dfrac{k}{2 i}</tex>, где .Следовательно <tex>i\overline{E(q)}</tex> — номер перечислителя множества принадлежат не менее <tex>B\dfrac{k}{2}</tex>.
}}
Теперь докажем теорему.
{{Теорема
|statement=Существует простое множество.
|proof=
[[#Лемма 2|Из леммы (2)]] и [[#Лемма3|из леммы (3)]] следует, что <tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} иммунно.
По построению <tex>E(q)</tex> перечислимо, его дополнение иммунно и, [[#Лемма 3|по лемме (3)]], бесконечно, а значит {{---}} оно простое.
}}
Простые множества являются примерами перечислимых множеств, не являющихся <tex>m</tex>-полными<ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012. с. 58. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. Именно так и возникло понятие простого множества: Пост искал пример перечислимого неразрешимого множества, которое не было бы <tex>m</tex>-полным <ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012.c. 62. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. .
== См. также ==
*[[Перечислимые языки]]
*[[m-сводимость]]
== Примечания ==
