Иммунные и простые множества

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется иммунным, если оно бесконечно и не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.


Определение:
Множество натуральных чисел [math]A[/math] называется простым, если [math]A[/math] — перечислимое, бесконечное и дополнение [math]A[/math] — иммунное.


Теорема:
Существует простое множество.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим все программы. Для некоторого перечислимого языка какая-то из них является его перечислителем.

Рассмотрим программу [math]q[/math]:

[math]q[/math]:
 for [math](TL = 1\ \ldots +\infty)[/math]
  for [math](i = 1\ \ldots TL)[/math]
   запустить [math]i[/math]-ую в главной нумерации программу на [math]TL[/math] шагов
   напечатать первый [math]x[/math], который вывела эта программа, такой что [math]x \geqslant 2 i[/math]


Обозначим [math]E(q)[/math] — множество, которое перечисляет эта программа.

Докажем несколько лемм, из которых будет очевидна правильность утверждения теоремы.


Лемма:
Для любого перечислимого множества [math]B[/math] существует его элемент, принадлежащий [math]E(q)[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
В [math]E(q)[/math] будет содержаться первый элемент множества, [math]B[/math] не превосходящий [math]2 i[/math], где [math]i[/math] — номер перечислителя множества [math]B[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
Для любого перечислимого множества [math]B[/math] верно, что [math]B \not \subset \overline{E(q)}[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Cуществует элемент [math]B[/math], принадлежащий [math]E(q)[/math], и, следовательно, не принадлежащий [math]\overline{E(q)}[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Лемма:
[math]\overline{E(q)}[/math] — бесконечно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Среди чисел от [math]1[/math] до [math]k[/math] множеству [math]E(q)[/math] принадлежат не более [math]\frac{k}{2}[/math].

Следовательно [math]\overline{E(q)}[/math] принадлежат не менее [math]\frac{k}{2}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Вернемся к доказательству теоремы.

Получаем:

[math]\overline{E(q)}[/math] — иммунно.

[math]E(q)[/math] — простое.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

  • Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7