Интеграл Дирихле — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (пофиксил недочеты)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 10 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Определение ряда Фурье|<<]][[Интеграл Фейера|>>]]
  
 
Для удобства вводим обозначения:
 
Для удобства вводим обозначения:
<tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>,где <tex>a_n</tex>, <tex>b_n</tex> {{---}} коэффициенты Фурье,
+
<tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>, <tex>A_0 = \frac{a_0}2</tex>, где <tex>a_n</tex>, <tex>b_n</tex> {{---}} коэффициенты Фурье,
 
<tex>S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)</tex> {{---}} частичные суммы ряда Фурье,  
 
<tex>S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)</tex> {{---}} частичные суммы ряда Фурье,  
 
<tex>\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)</tex> {{---}} ряд Фурье.
 
<tex>\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)</tex> {{---}} ряд Фурье.
Строка 8: Строка 8:
 
Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:  
 
Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:  
  
<tex>S_n(x)=</tex><tex>\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}dt\cos{kx} + \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}dt\sin{kx})</tex>  
+
<tex>S_n(x)=</tex><tex>\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}\,dt\cos{kx} + \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}\,dt\sin{kx})</tex>  
  
 
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
 
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx})dt)=</tex>
+
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx}))dt=</tex>
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}cos{k(x-t)})dt</tex>.
+
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{k(x-t)})dt</tex>.
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 40: Строка 40:
 
Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>:
 
Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>:
  
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}
+
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n} \cos{kt} \sin{\frac{t}{2}})=</tex>  
cos{kt} \sin{\frac{t}{2}})=</tex>  
 
  
 
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
 
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
  
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
+
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
 
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
 
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
 
}}
 
}}
  
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex> (пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла)
+
 
 +
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex> (пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла)
  
 
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
 
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
Строка 56: Строка 56:
  
 
Приходим к формуле:
 
Приходим к формуле:
<tex>S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке <tex>S</tex>.
+
<tex>S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке <tex>x</tex>.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5 Википедия — Ядро Дирихле]
 +
 
 +
[[Определение ряда Фурье|<<]][[Интеграл Фейера|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

<<>>

Для удобства вводим обозначения: [math]A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}[/math], [math]A_0 = \frac{a_0}2[/math], где [math]a_n[/math], [math]b_n[/math] — коэффициенты Фурье, [math]S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)[/math] — частичные суммы ряда Фурье, [math]\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)[/math] — ряд Фурье.

Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:

[math]S_n(x)=[/math][math]\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}\,dt\cos{kx} + \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}\,dt\sin{kx})[/math]

По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим [math]\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx}))dt=[/math] [math]\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{k(x-t)})dt[/math].

Определение:
Тригонометрический полином вида [math]D_n(t)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math] называется ядром Дирихле.


Подставляя эту функцию в только что полученную формулу, приходим к следующему выражению:


Определение:
[math]S_n(x)=\int\limits_{Q}f(t)D_n(x-t)dt[/math]интеграл Дирихле.


Из формулы для ядра видно, что ядро — четная функция, более того, если ядро заинтегрировать по всему участку [math] Q [/math], то такой интеграл равен [math]1[/math]. Воспользуемся свойством, что если [math]f[/math][math]2\pi[/math]-периодична, то [math]\int\limits_{Q}f=\int\limits_{a}^{a+2\pi}f[/math]. Проделав замену переменных [math]u=t-x[/math] в интеграле Дирихле, приходим к формуле:

Определение:
[math]S_n(x) = \int\limits_{Q}f(x+t)D_n(t)dt[/math]. В такой форме записи частичная сумма называется интегралом свертки [math]f[/math] c ядром [math]D_n(t)[/math].


Чтобы применять этот интеграл, найдем замкнутое выражение для ядра.

Утверждение:
[math]D_n(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}[/math]
[math]\triangleright[/math]

По определению ядра: [math]D_n(f) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt})[/math].

Домножим это выражение на [math]\sin{\frac{t}{2}}[/math]:

[math]\sin{\frac{t}{2}}D_n(t) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n} \cos{kt} \sin{\frac{t}{2}})=[/math]

[math]\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=[/math]

[math]\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=[/math] [math]\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}[/math]

Разделив обе части на [math]\sin{\frac{t}{2}}[/math], получим требуемую формулу.
[math]\triangleleft[/math]


Используя эту формулу, можно записать: [math]S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(n+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=[/math] (пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла)

[math]=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt[/math]

[math] 2\int\limits_{0}^{\pi}D_n(t)dt = 1 [/math] (это проверяется непосредственно). Пусть [math]S \in \mathbb{R}[/math], тогда [math]S=\int\limits_{0}^{\pi}2SD_n(t)dt[/math].

Приходим к формуле: [math]S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt[/math] — основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке [math]x[/math].

См. также

Википедия — Ядро Дирихле

<<>>