1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}[[Определение ряда Фурье|<<]][[Интеграл Фейера|>>]]
rollbackEdits.php mass rollback
Для удобства вводим обозначения:
<tex>A_n(f,x)=A_n(x)=a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}</tex>, <tex>A_0 = \frac{a_0}2</tex>,где <tex>a_n</tex>, <tex>b_n</tex> {{---}} коэффициенты Фурье,
<tex>S_n(f,x)=S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}A_k(x)</tex> {{---}} частичные суммы ряда Фурье,
<tex>\sigma(f,x)=\sigma(x)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}A_k(x)</tex> {{---}} ряд Фурье.
Следуя Дирихле, запишем частичную сумму ряда Фурье посредством интеграла:
<tex>S_n(x)=</tex><tex>\frac{1}{2\pi}\int\limits_{Q}f(t)dt+\sum\limits_{k=1}^{n}(\frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\cos{kt}\,dt\cos{kx} + \frac{1}{\pi}\int\limits_{Q}f(t)\sin{kt}\,dt\sin{kx})</tex>
По свойствам интеграла, меняя местами значки интеграла и конечного суммирования, получим
<tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}(\cos{kt}\cos{kx}+\sin{kt}\sin{kx}))dt)=</tex><tex>\int\limits_{Q}f(t)\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{k(x-t)})dt</tex>.
{{Определение
|definition=
Домножим это выражение на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>:
<tex>\sin{\frac{t}{2}}D_n(t) = \frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\sum\limits_{k=1}^{n}\cos{kt} \sin{\frac{t}{2}})=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}(\sin{(k+\frac{1}{2})t}-\sin{(k-\frac{1}{2})t}))=</tex>
<tex>\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}\sin{\frac{t}{2}}+\frac{1}{2}(\sin{(n+\frac{1}{2})t}-\sin{\frac{t}{2}}))=</tex> <tex>\frac{1}{2\pi}\sin{(n+\frac{1}{2})t}</tex>
Разделив обе части на <tex>\sin{\frac{t}{2}}</tex>, получим требуемую формулу.
}}
Используя эту формулу, можно записать: <tex dpi="140">S_n(f,x)=\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x+t)\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(kn+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}dt=</tex> (пользуясь четностью ядра и линейностью интеграла)
<tex>=\int\limits_{-\pi}^{0}+\int\limits_{0}^{\pi}=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t))D_n(t)dt</tex>
Приходим к формуле:
<tex>S_n(f,x)-S=\int\limits_{0}^{\pi}(f(x+t)+f(x-t)-2S)D_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для изучения сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке <tex>Sx</tex>.
== См. также ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B4%D1%80%D0%BE_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5 Википедия — Ядро Дирихле]
[[Определение ряда Фурье|<<]][[Интеграл Фейера|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
