304
правки
Изменения
м
{{TODO| t=Из условий утверждения не вытекает, что <tex>f</tex> {{---}} ограниченна (можно привести пример когда это не так, см обсуждение).
Нет описания правки
Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства|интегралу Римана]]:
Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убываетмонотонно неубывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. , так как $g$ не убываетмонотонно неубывает, $\Delta g_k \ge 0$).
{{Определение
|proof=
Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$
$ \omega (f, g, \tau) \le \left| \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k \right| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} \varepsilon | \Delta g_k | = \varepsilon \bigvee\limits_a^b (g, \tau) \le \varepsilon \bigvee\limits_a^b g \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ и $g'$ непрерывна непрерывны на $[a, b]$ , и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
