1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Интеграл Римана-Стилтьеса строится аналогично [[Определение_интеграла_Римана,_простейшие_свойства|интегралу Римана]]:
Пусть дан отрезок $[a, b]$, на котором определены функции $f$ и '''весовая функция''' $g$, причем $g$ — не убываетмонотонно неубывает. Пусть на нем есть разбиение $\tau : a=x_0 < \dots < x_n=b$ и точки $\xi_i \in [x_i; x_{i+1}]$. Составим интегральную сумму $\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \Delta g_k $, где $\Delta g_k = g(x_{k+1}) - g(x_k) $ (заметим, что т.к. , так как $g$ не убываетмонотонно неубывает, $\Delta g_k \ge 0$).
{{Определение
$f \in \mathcal{R}(g) \Leftrightarrow \omega(f, g, \tau) \xrightarrow[\operatorname{rang} \tau \to 0]{} 0 $.
|proof=
Доказывается аналогично [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.9A.D1.80.D0.B8.D1.82.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.B9_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B8.D1.80.D1.83.D0.B5.D0.BC.D0.BE.D1.81.D1.82.D0.B8|интегралу Римана]].
}}
|proof=
Так как $f$ непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна, то есть $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: |x' - x''| < \delta \Rightarrow |f(x') - f(x'')| < \varepsilon$. Если $\operatorname{rang} \tau < \delta, M_k - m_k \le \varepsilon$
$ \omega (f, g, \tau) \le \left| \sum\limits_{k=0}^{n-1} (M_k - m_k) \Delta g_k \right| \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} \varepsilon | \Delta g_k | = \varepsilon \bigvee\limits_a^b (g, \tau) \le \varepsilon \bigvee\limits_a^b g \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
Пусть существуют $\int\limits_a^b f dg, \int\limits_a^b g df$. Тогда $\int\limits_a^b f dg = fg \bigl|_a^b - \int\limits_a^b g df $.
|proof=
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{ik=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k + 1}) - g(x_k)) = \\\sum\limits_{ik=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_{k+1}) - \sum\limits_{ik=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
\sum\limits_{j=1}^n f(\xi_{j-1}) g(x_j) - \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) g(x_k) = \\
= f(\xi_{n-1}) g(x_n) - f(\xi_0) g(x_0) + \sum\limits_{j=1}^{n-1} g(x_j) (f(\xi_{j - 1}) - f(\xi_j)) = \\
$ \bigvee\limits_a^b (f, \tau) \le M (b - a) \Rightarrow f \in \bigvee(a, b) $
}}
== Сведение к интегралу Римана ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть $f$ и $g'$ непрерывна непрерывны на $[a, b]$ , и существует $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$, тогда существует $\int\limits_a^b f dg$, и его значение совпадает с $\int\limits_a^b f(x) g'(x) dx$.
|proof=
Из предыдущего утверждения, $g'$ — функция ограниченной вариации, следовательно, $\int\limits_a^b f dg$ существует. Распишем ее интеграл Стилтьеса:
$\sigma(f, g, \tau) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g(x_{k+1}) - g(x_k)) =$ (по формуле Лагранжа)
За счет равномерной непрерывности $g'$, если $\operatorname{rang} \tau < \delta $ и $\xi_k, \xi'_k \in [x_k, x_{k+1}]$, то $|g'(\xi_k) - g'(\xi'_k)| < \varepsilon$.
$ \sum\limits_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) (g'(\xi'_k) - g'(\xi_k)) \Delta x_k \le \sum\limits_{k=0}^{n-1} M \varepsilon \Delta x_k = M (b - a) \varepsilon \xrightarrow[\varepsilon \to 0]{} 0$.
}}
== Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации ==
В качестве применения этой теоремы оценим коэффициенты Фурье $2\pi$-периодической функции $f \in \bigvee(0, 2\pi)$:. Так как $f$ представима в виде разности двух монотонных, [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D1.83.D1.89.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.BE.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D1.91.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.B8.D0.BD.D1.82.D0.B5.D0.B3.D1.80.D0.B0.D0.BB.D0.B0_.D0.BD.D0.B5.D0.BF.D1.80.D0.B5.D1.80.D1.8B.D0.B2.D0.BD.D0.BE.D0.B9_.D0.B8.D0.BB.D0.B8_.D0.B2.D0.BE.D0.B7.D1.80.D0.B0.D1.81.D1.82.D0.B0.D1.8E.D1.89.D0.B5.D0.B9_.D1.84.D1.83.D0.BD.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8|монотонные интегрируемы по Риману]] и [[Критерий_существования_определённого_интеграла#.D0.A1.D0.BB.D0.B5.D0.B4.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B8.D0.B5|произведение интегрируемых интегрируемо]], то $f(x) \cos (nx) dx$ интегрируема по Риману.
$a_n(f) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \\
</wikitex>
[[Сходимость ряда Фурье в индивидуальной точке|<<]][[О почленном интегрировании ряда ФурьеТеорема Жордана|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
