403
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
<tex>\operatorname{rang} \tau = \max\{\operatorname{diam} \Pi_{ij}\}</tex>, где <tex>\operatorname{diam} \Pi_{ij}</tex> {{---}} диаметр клетки(то есть, длина ее диагонали).
}}
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
<tex>|\Pi_{ij}| = \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
{{Определение
Далее аналогично определённому интегралу получаем линейность:
* <tex>\iint\limits_\Pi (\alpha f + \beta g) = \alpha \iint\limits_\Pi f + \beta\iint\limits_\Pi g</tex>
* <tex>f(x, y) \leq g(x, y) \Rightarrow \iint\limits_\Pi f \leq \iint\limits_\Pi g</tex>
<tex>m_{ij} = \inf\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex>, <tex>M_{ij} = \sup\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex>
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>, <tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
Введём понятие "измельчение разбиения":
<tex>\iint\limits_\Pi</tex> существует <tex>\iff</tex> <tex>\underline{I} = \overline{I}</tex> <tex>\iff</tex> <tex>\omega(f, \tau) \to 0</tex>.
Прямоугольник {{---}} компакт на плоскости <tex>\Rightarrow</tex> (функция непрерывна <tex>\Rightarrow</tex> равномерон равномерно непрерывна) <tex>\Rightarrow</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta \geq 0 : \|x'' - x'\| < \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| < \varepsilon</tex>
Тогда <tex>\omega(f, \tau) \leq \varepsilon |\Pi| \to 0</tex>
== Аддитивность двойного интеграла ==
При этом, <tex>\exists \int\limits_a^c f \iff \exists \int\limits_a^b f, \exists\int\limits_b^c f</tex>.
Сам факт аддитивности сохраняется. Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex> , и они не имеют общих внутрнних внутренних точек, то:* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \intiint\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
|proof=
''Пункт 1''. Сначала докажем для разбиения на стандартные клетки
<tex>a = a_0 < a_1 \ldots < a_n = b</tex>
<tex>\tau = \tau_1 \times \tau_2</tex> {{---}} разбиение прямоугольника <tex>\Pi</tex>.
То есть, мы получаем разбиение каждой клетки <tex>\Pi_{ij}</tex>. Посчитаем интегральные суммы по всем клеткам. Тогда ясно, что если все эти суммы
сложить, то получим разбиение <tex>\tau</tex>. Каждая из этих сумм стремится к конечному пределу <tex>\iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex> (почему?). Сумм , сумм конечное число.
Тогда получаем:
<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex>, то есть, для специального разбиения всё доказано.
''Пункт 2''. Теперь докажем для общего случая(любое замощение прямоугольниками).
Занумеруем границы сторон <tex>\Pi_k</tex> в порядке возрастания их координат по вертикали. Так же сделаем с горизонталью. В результате получим
Формула доказана для произвольного разбиения.
}}
[[Категория: Математический анализ 1 курс]]
