Изменения
→Формула Ньютона-Лейбница: уточнение, к чему применяется формула Лагранжа
{{В разработке}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Утверждение ==
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) \leq M</tex>. Тогда <tex>m \leq \frac1{b - a} \int\limits_a^b f \leq M</tex>
|proof=
По условию <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем каждую часть:
<tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a^b M</tex>.
Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.
<tex>m \leq \frac1{b - a}\int\limits_a^b f \leq M</tex>.
}}
=== Следствие ===
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) = \frac1{b - a}\int\limits_a^b f</tex>
|proof=
Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]} f(x)</tex>, <tex>M = \max\limits_{[a; b]} f(x)</tex>.
Тогда <tex>[m; M]</tex> {{---}} множество значений функции.
По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.
}}
{{Определение
|definition=
Объектом исследования этого параграфа является <tex>F(x) = \int\limits_a^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.
Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.
}}
== Свойства ==
=== №1 ===
{{Утверждение
|statement=
<tex>F</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>.
|proof=
Так как <tex> f </tex> ограничена (в силу [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]), то <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.
Тогда <tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leqslant M \Delta x \Rightarrow F</tex> {{---}} непрерывна.
}}
=== Теорема Барроу ===
{{Теорема
|author=Барроу
|statement=
Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.
Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>.
|proof=
Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>
Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем
<tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quad
f(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f
\leqslant
f(x_0) + \varepsilon </tex>
Устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>
}}
==== Важное следствие ====
{{Утверждение
|id = barrou_sl
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
|proof=
<tex>F(x) = \int\limits_a^x f \Rightarrow F'(x) = f(x)</tex>
В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(x) =f(x)</tex> {{---}} одна из первообразных.
Значит, неопределённый интеграл существует.
}}
== Формула Ньютона-Лейбница ==
{{Теорема
|about=формула Ньютона-Лейбница
|statement=
Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
|proof=
Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f </tex> равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
}}
=== Следствие ===
Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
}}
== Формулы ==
=== Вычисление определенного интеграла по частям ===
<tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>
=== Вычисление определенного интеграла сложной функции ===
{{Утверждение
|id = formula2
|statement=
Пусть
<tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \varphi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex>
<tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>
Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>
|proof =
Монотонность <tex>\varphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.
<!--
({{TODO|t=что за бреееед????}})
Все нормально
-->
Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.
<tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
<tex>G(t) = F(\varphi(t))</tex>
<tex>G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex>
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt =
G(t_2) - G(t_1) =
F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) =
F(b) - F(a)</tex>
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
}}
