Изменения

= ПРОЧИТАТЬ И ДОРАБОТАТЬ =Утверждение ==

По предыдущему утверждению, <tex>\frac1{b - a} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.

=== Свойство 1 №1 ===

Из непрерывности Так как <tex>Ff </tex> следует её ограниченностьограничена (в силу [[Определение интеграла Римана, т. е. простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]), то <tex>\exists M: \ |f| \leq M</tex>.

Тогда <tex>|F(x + \Delta x) - F(x)| = \left|\int\limits_x^{x + \Delta x}f\right| \leq </tex> <tex> leqslant M |\Delta x| \xrightarrow[\Delta x \to 0]{} 0\Rightarrow</tex> <tex>F</tex> {{---}} непрерывна.

Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(a, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>.

Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>

<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> (при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex>) выполняется <tex>: |x - x_0| < \delta \Rightarrow f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>

Рассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем<tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quad f(x_0) - \varepsilon \leq leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f \leq leqslantf(x_0) + \varepsilon</tex>

Устремляя <tex>\varepsilon</tex> к <tex>\to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0)</tex>

==== Следствие Важное следствие ====

Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f = </tex> (равен пределу интегральных сумм)при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.

<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то в каждой скобке применим , применив для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:

<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.

{{TODO|t=Это не доказательство следствия, а просто различные приёмы интегрирования, нужно поменять разметку соответствующим образом}}= Формулы == 1. === Вычисление определенного интеграла по частям:===

2. === Вычисление определенного интеграла сложной функции: {{TODO|t=\phi неплохо бы заменить на \varphi}}==

<tex>y = f(x), \ x \in (a; b) \quad x = \phivarphi(t), \ t\in[\alpha; \beta]</tex> <tex>\phi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \phi(t_2)</tex>, <tex>a = \phi(t_1)</tex> В рамках этих обозначений <tex>\int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phi(t)) \phi'(t) d t</tex>

{{TODO|<tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b =далее идет типа доказательство}}\varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>

Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>|proof =Монотонность <tex>\phivarphi</tex> не требуется. Это связано с тем, что мы вычисляем определённый интеграл, то есть число.<!--(число{{TODO|t=что за бреееед????}}).Все нормально-->

Пусть выполняются все условия для этой формулы.({{TODO|t=что за бреееед????}}) Как правило, в этих формулах считается, что все функции непрерывны.

<tex>f</tex> {{---}} непрерывнана <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>

<tex>G(t) = F(\phivarphi(t))</tex>

<tex>G'(t) = F'(x) \phivarphi'(t) = f(\phivarphi(t)) \phivarphi'(t)</tex>

<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\phivarphi(t)) \phivarphi'(t) dt = </tex> <tex>G(t_2) - G(t_1) =</tex> <tex>F(\phivarphi(t_2)) - F(\phivarphi(t_1)) = </tex> <tex>F(b) - F(a)</tex>