Изменения
→Формула Ньютона-Лейбница: уточнение, к чему применяется формула Лагранжа
{{Утверждение
|id = barrou_sl
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив в каждой скобке для каждого промежутка из разбиения формулу Лагранжа, получим:
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
=== Следствие ===
Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразных.
Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>
<tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>
{{Утверждение
|id = formula2
|statement=
Пусть
<tex>\varphi(t) \in [a; b]</tex>, <tex>b = \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex>
<tex>f</tex> {{---}} непрерывнана <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>\exists F: \ F' = f</tex>
По формуле Ньютона-Лейбница, <tex>\int\limits_a^b f = F(b) - F(a)</tex>.
<tex>G'(t) = F'(x) \varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex>
<tex>\int\limits_{t_1}^{t_2} f(\varphi(t)) \varphi'(t) dt = </tex> <tex>G(t_2) - G(t_1) =</tex> <tex>F(\varphi(t_2)) - F(\varphi(t_1)) = </tex> <tex>F(b) - F(a)</tex>
У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны.
}}
