1302
правки
Изменения
м
→Формула Ньютона-Лейбница: Теорема
<tex>F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x) dx</tex>
|proof=
Так как <tex>f</tex> {{---}} интегрируема, то <tex>\forall \tau \ \int\limits_a^b f = </tex> (равен пределу интегральных сумм)при любой системе промежуточных точек для <tex>\tau</tex>.
Поэтому, если <tex>\tau</tex> {{---}} разбиение <tex>[a; b]</tex>, то
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} F(x_{k + 1}) - F(x_k)</tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то , применив в каждой скобке применим формулу Лагранжа, получим:
<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex>
<tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex>
<tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, получаем нужную формулу.
}}
