Изменения

== Утверждение =={{УтверждениеОпределение|statementdefinition =Определим так называемые '''суммы Фейера''', как среднее арифметическое сумм Фурье:Пусть <tex>f \in \mathcal{R}sigma_n(af, b)</tex> и <tex>m \leq f(x) = \leq M</tex>. Тогда <tex>m \leq \frac1frac{1}{b - an+1} \intsum\limits_a^b f \leq M</tex>|prooflimits_{k=По условию <tex>m \leq f \leq M</tex>. Проинтегрируем каждую часть:  <tex>\int\limits_a^b m \leq \int\limits_a^b f \leq \int\limits_a0}^b M</tex>. Посчитаем значения крайних интегралов и поделим всё на <tex>b - a</tex>.  <tex>m \leq \frac1{b - an}\int\limits_a^b S_n(f \leq M,x)</tex>.

=== Следствие === {{Утверждение|statement=Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>. Тогда Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\exists c \in [a; b]: f(c) sigma_n= \frac1frac{1}{b - an+1}\int\limits_a^b f</tex>|proof=Определим <tex>m = \min\limits_{[a; b]Q} f(x+t)D_n(t)</tex>, <tex>M dt = \maxint\limits_{[a; b]Q} f(x)</tex>. Тогда <tex>[m; M]</tex> \frac{1}{---n+1}} множество значений функции. По предыдущему утверждению, <tex>\frac1sum\limits_{b - ak=0} \int\limits_a^b f\in [m; M]</tex> и в силу непрерывности <tex>f{n}D_k(t)dt</tex> по теореме Коши подходящее <tex>c</tex> найдётся.}}

|definition=Объектом исследования этого параграфа является '''Ядро Фейера''' - <tex>F\Phi_n(xt) = \intfrac{1}{n+1}\limits_asum\limits_{k=0}^x f(t) dt</tex>, <tex>f \in \mathcal{Rn}D_k(a, bt)</tex>, <tex>x \in [a, b]</tex>.Такая функция называется ''интегралом с переменным верхним пределом''.

Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt= Свойства \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt =1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2S)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.

<texdpi="150">F</tex> \Phi_n=\frac{1}{2\pi(n+1)}(\frac{\sin{(\frac{n+1}{2})t}}{\sin{\frac{---t}{2} непрерывна на <tex>[a; b]}})^2</tex>.

Так как <texdpi="150"> f </tex> ограничена \Phi_n(t)=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{1}{2\pi}\frac{\sin{(k+\frac{1}{2})t}}{\sin{\frac{t}{2}}}=\frac{1}{2\pi(в силу [[Определение интеграла Римана, простейшие свойства#utv1 |этого утверждения]]n+1), то <tex>}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}(\sin{k+\exists M: frac{1}{2}}t\ |f| sin{\leq Mfrac{t}{2}})=</tex>. Тогда <texdpi="150">|F\frac{1}{2\pi(x n+ 1)}\frac{1}{\sin{\frac{t}{2}}}\sum\limits_{k=0}^{n}\Delta x) frac{1}{2}(\cos{kt}- F\cos{(xk+1)t})| = \left|frac{1}{2\intpi(n+1)}\limits_xfrac{1-\cos{(n+1)t}}{2\sin^2{\frac{t}{x + 2}}}=\Delta xfrac{1}f{2\right| pi(n+1)}\leqslant M frac{\Delta x sin^2{\Rightarrow Ffrac{n+1}{2}t}}{\sin^2{\frac{t}{2}}}</tex> {{---}} непрерывна.

=== Теорема Барроу ==={{Теорема|author=Барроу|statement=Пусть <tex>f \in \mathcal{R}(aИз этой формулы видно, что ядро Фейера всегда неотрицательно, b)</tex> и непрерывна в <tex>x_0 \in (a; b)</tex>. Тогда <tex>F</tex> дифференцируема в этой точке и её производная равна <tex>F'(x_0) = f(x_0)</tex>отличии от ядра Дирихле.|proof=Приращение <tex>F(x_0 + \Delta x) - F(x_0) = \int\limits_{x_0}^{x_0 + \Delta x} f(x)dx</tex>

<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0</tex> при <tex>|x - x_0| < \delta </tex> в силу непрерывности в точке <tex>x_0</tex> выполняется <tex>f(x_0) - \varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon</tex>{{ОпределениеРассмотрим <tex> |\Delta x| < \delta </tex>. По первому утверждению получаем definition = <tex>\forall |\Delta x| < \delta, \Delta x > 0: \quadf(x_0) - \varepsilon \leqslant \frac1{\Delta x} \int\limits_{x_0Q}^{x_0 + \Delta x} f\leqslantf|D_n(x_0) + \varepsilon </tex> Устремляя <tex>\varepsilon \to 0</tex>, получаем <tex>\frac{\Delta F(x_0, \Delta x)}{\Delta x} \to f(x_0t)|dt</tex>называется '''константой Лебега'''.

|id = barrou_sl|statement=Пусть <tex>f\int\limits_{Q}|D_n(t)|dt \sim \ln{n}</tex> {{---}} непрерывна на при больших <tex>[a; b]n</tex>. Тогда на этом отрезке у неё существует неопределённый интеграл.|proof=<tex>F\int\limits_{Q}|D_n(xt) = |dt \sim \int\limits_alimits_{0}^x f {\Rightarrow F'pi} \frac {|\sin (xn+ \frac12) t|}{\sin \frac{t}{2}} dt = f\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (x2n+ 1)t|}{\sin t} dt</tex> В силу непрерывности функции на отрезке и теоремы Барроу <tex>F'(x) =f(x)</tex> {{---}} одна из первообразных.

ЗначитТак как на <tex> [0; \frac{\pi}{2}] </tex> выполняется двойное неравенство <tex> \frac{2}{\pi} t \le \sin t \le t </tex>, неопределённый интеграл существует.то можно рассматривать <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t}dt </tex>.

Разобьем интеграл на две части, <tex> \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} == Формула Ньютона-Лейбница ==\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2n+1}} + \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} </tex>:

{{Теорема|about=формула Ньютона-Лейбница|statement=Пусть <tex>F</tex> дифференцируема на <tex>[a; b]</tex>, её производная <tex>f</tex> интегрируема на этом же отрезке. Тогда <tex>F(b) - F(a) = \int\limits_alimits_{0}^b f(x) dx</tex>|proof=Так как <tex>f</tex> {\frac{\pi}{---2n+1}} интегрируема, то <tex>\forall frac {|\tau sin (2n+ 1)t|}{t} dt \ le \int\limits_alimits_{0}^b f </tex> равен пределу интегральных сумм при любой системе промежуточных точек для <tex>{\frac{\pi}{2n+1}} \frac {(2n + 1) |\sin t|}{t} dt \taule const </tex>.

Поэтому, если Оценка сверху: <tex>\tau</tex> int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (2n+ 1)t|}{t} dt \le \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {1}{t} dt = \ln t \bigg|_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{---2}} разбиение <tex>[a; b]\sim \ln n </tex>, то .

Оценка снизу: <tex>F\int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {|\sin (b2n+ 1) - Ft|}{t} dt \ge \int\limits_{\frac{\pi}{2n+1}}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\sin^2 (a2n+ 1) t}{t} dt = \sumfrac12 \int\limits_{k = 0\frac{\pi}{2n+1}}^{n \frac{\pi}{2}} \frac{dt}{t} - 1\frac12 _{\frac{\pi} F(x_{k 2n+ 1}) - F}^{\frac{\pi}{2}} \frac {\cos (x_k4n+ 2)t}{t} dt \sim ln n </tex>. Так как <tex>F</tex> дифференцируема, то, применив в каждой скобке формулу Лагранжа, получим:

<tex>F(x_{k + 1}) - F(x_k) = F'(\bar x_k) \Delta x_k = f(\bar x_k) \Delta x</tex> <tex>F(b) - F(a) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(\bar x_k) \Delta x_k = \sigma (f, \tau)</tex> <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>, следовательно, правая часть стремится к интегралу, левая {{---}} постоянна. Значит, в пределе, Отсюда получаем нужную формулутребуемое.

=== Следствие ===Объединяя эту теорему со [[#barrou_sl|следствием]] к теореме Барроу получаем следующий факт:{{Утверждение|statement=Пусть <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex>[a; b]</tex>Именно с этим фактом связана трудность исследования рядов Фурье в индивидуальной точке, <tex>F</tex> {{---}} одна из первообразныхв отличии от сумм Фейера, где ядро положительно и условия сходимости выписываются проще.Тогда <tex>\int\limits_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)</tex>}} == Формулы ===== Вычисление определенного интеграла по частям === <tex>\int\limits_a^b u(x) d v(x) = uv|_a^b - \int\limits_a^b v(x) d u(x)</tex>

=== Вычисление определенного интеграла сложной функции === {{Утверждение|id = formula2|statement=Пусть Поясним смысл сумм Фейера: в свое время, рассматривая числовые ряды, мы говорили, что <tex>y = f(x), \ x sum\in (a; b) limits_{k=1}^{\quad x infty}a_k = \varphi(t), \ tlim\in[limits_{n \alpha; to \beta]</tex> <tex>\varphi(t) \in [a; b]infty}S_n</tex>, где <tex>b S_n= \varphi(t_2)</tex>, <tex>a = \varphi(t_1)</tex> Тогда <tex>\quad \exists \varphi'(t) \Rightarrow \int\limits_a^b f(x) d x = \intsum\limits_{t_1k=1}^{t_2n} f(\varphi(t)) \varphi'(t) d t</tex>|proof =Монотонность <tex>\varphia_n</tex> не требуется. Это связано с темДля расходящихся рядов, можно применять обобщенные методы суммирования, что мы вычисляем определённый интегралглавное, то есть числочтобы выполнялись свойства перманентности и эффективности.<!--({{TODO|t=что за бреееед????}}) Все нормально--> Как правилоК примеру, в этих формулах считается, что все функции непрерывны. если <tex>f</tex> \sigma_n=\frac{1}{---n}\sum\limits_{n=1} непрерывна на <tex>[a,b]</tex>. Значит, <tex>^{\exists F: infty}S_k \ F' = fto S</tex> По формуле Ньютона-Лейбница, то <tex>\intsum\limits_alimits_{n=1}^b f {\infty}a_n = F(b) - F(a)S</tex>по методу средних арифметических. В точно таком же смысле, если взять ряд Фурье: <tex>G(t) = F(\varphi(t))</tex> <tex>G'(t) = F'(x) frac{a_0}{2}+\varphi'(t) = f(\varphi(t)) \varphi'(t)</tex> <tex>\intsum\limits_{t_1n=1}^{t_2\infty} f(a_n\varphi(t)) cos{nx}+b_n\varphi'(tsin{nx}) dt = G\lim\limits_{n \to \infty}S_n(t_2) - G(t_1f,x) =F(\varphi(t_2)) - F(lim\limits_{n \to \infty}\varphisigma_n(t_1)) =F(b) - F(af,x)</tex> У интересующих интегралов правые части совпали, значит, интегралы равны(с.а.). В этом и состоит смысл введения сумм Фейера.}}