18
правок
Изменения
структурные измененения (добавление примера 2 и удаление информации про сходимость)
==Дифференцирование и интегрирование производящих функций==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - производящая функция.
''Производной'' этой функции называется функция
:<tex>A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots</tex>
''Интегралом'' называется функция
:<tex>\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots</tex>
}}
Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:
:<tex>(\int\limits A(s))' = A(s)</tex>.
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
:<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(s) </tex>
===Замечание===
{{Утверждение
|statement=
Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом
:<tex> \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi </tex>.
}}
==Примеры==
===Пример 1===
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию
:<tex> f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots </tex>
Умножая функцию <tex> f </tex> на <tex> s^2 </tex> и дифференцируя, получаем
:<tex>(s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln(1 -
s)^{-1}</tex>,
откуда
:<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln (1 - s)^{-1} = s^{-1} ((s - 1) \ln (1 - s)^{-1} + s) </tex>.
===Пример 2===
Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение:
:<tex> g_0 = 1</tex>
:<tex> g_1 = 1</tex>
:<tex> g_n = g_{n - 1} + 2 g_{n - 2} + (-1)^n</tex>
Умножим обе части всех равенств на z в соответствующей степени и просуммируем:
:<tex> z^0 g_0 = 1</tex>
:<tex> z^1 g_1 = z</tex>
:<tex> z^n g_n = z^n g_{n-1} + 2 z^n g_{n-2} + (-1)^n z^n</tex>
:<tex> g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = 1 + z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n + 2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n </tex>
Левая часть <tex> G(z) = g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n </tex> представляет собой производящую функцию в бесконечном виде.
Попытаемся выразить правую часть через <tex>G(z)</tex>. Рассмотрим каждое слагаемое:
:<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n = z \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^{n - 1} = z (G(z) - g_0) = z(G(z) - 1)</tex>
:<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n = z^2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^{n - 2} = z^2 G(z)</tex>
:<tex>\sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n = z^2 - z^4 + z^6 - z^8 + \dots = 1 - z + z^2 -z^4 + z^6 -z^8 + \dots -1 + z = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n - 1 + z = \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z</tex>
Составляем уравнение:
:<tex>G(z) = 1 + z + z(G(z) - 1) + 2 z^2 G(z) + \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z</tex>
:<tex>G(z) (1 - z - 2 z^2) = \dfrac{1}{1 + z} + z</tex>
:<tex>G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z) (1 - z - 2 z^2)}</tex>
:<tex>G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z)^2 (1 - 2 z)}</tex>
Это и есть производящая функция для заданного рекуррентного уравнения. Раскладывая её на простейшие дроби (например, методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки различных значений <tex>z</tex>), получаем:
:<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex>
Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придется чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:
:<tex>\dfrac{1}{(1 + z)^2} = (- \dfrac{1}{1 + z})' = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} z^n)' = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} n z^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n</tex>
Собственно всё. Раскладываем каждое слагаемое в степенной ряд и получаем ответ:
<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n - \dfrac{1}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n + \dfrac{7}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} 2^n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})) z^n</tex>
Мы искали G(z) в виде <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n</tex>, значит
:<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
==См. также==
* [[Производящая функция]]
* [[Производящие функции нескольких переменных]]
* [[Арифметические действия с формальными степенными рядами]]
==Источники информации==
* ''Ландо С. К.'', Лекции о производящих функциях. {{---}} 3-е изд., испр. {{---}} М.: МЦНМО, 2007. {{---}} 144с. ISBN 978-5-94057-042-4
* [https://habrahabr.ru/post/204258/ Производящие функции — туда и обратно] (10.06.2017)
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
