Изменения

Пусть <tex>A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots</tex> - — [[Производящая функция | производящая функция]].

:<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(s) a_0</tex>.

===Пример <tex>1</tex>===

:<tex>(s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln(\dfrac{1}{1 - s)^{-1}</tex>,

:<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln (\dfrac{1}{1 - s)^{-1} = s^{-1} ((s - 1) \ln (\dfrac{1}{1 - s)^{-1} + s) </tex>.

===Пример <tex>2</tex>===

Умножим обе части всех равенств на <tex>z </tex> в соответствующей степени и просуммируем:

:<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex>

Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придется придётся чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:

Мы искали <tex>G(z) </tex> в виде <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n</tex>, значит

===Пример <tex>3</tex>===

Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся [[Производящая функция#Приложения | разложением экспоненты]]:

Разложение экспоненты начинается с <tex>1</tex>, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в <tex>1</tex>:

:<tex>\ln(1 + t) = l_1 t + l_2 t^2 + l_3 t^3 + \dots</tex>

(свободный член в разложении равен <tex>0</tex>, поскольку <tex>\ln(1) = 0</tex>). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают <tex>1</tex>. Поскольку <tex>\dfrac{d}{ds} e^s = e^s</tex>, получаем

:<tex>\dfrac{d}{dt} \ln(1 + t) = \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - \dots</tex>,

:<tex>\ln(1 + t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>

:<tex>-\ln(1 - t) = \ln(\dfrac{1}{1 - t)^{-1} = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>

:<tex>f'(s) = F(s, f(s)) \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (1)</tex>

на производящую функцию <tex>f(s)</tex>, где <tex>F = F(s, t)</tex> --- — [[Производящие функции нескольких переменных | производящая функция двух переменных]], являющаяся многочленом по <tex>t</tex> (т.е. степень <tex>F</tex> по <tex>t</tex> конечна). Тогда для каждого <tex>f_0</tex> уравнение <tex>(1)</tex> имеет единственное решение, удовлетворяющее условию <tex>f(0) = f_0</tex>

Приравнивая коэффициенты при <tex>s^0</tex> в левой и правой частях уравнения <tex>(1)</tex>, получаем Возьмем с первого слагаемого: :<tex>(F_{00} + F_{10} s + F_{20} s^2 + \dots) \rightarrow F_{00}</tex> Возьмем со второго слагаемого: :<tex>(F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t = (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots) \rightarrow F_{01} f_0</tex> Возьмем с <tex>n</tex>-го слагаемого: :<tex>(F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n = (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots)^n \rightarrow F_{0n} f_0^n</tex> Итого выходит:

:<tex>n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)</tex>,

где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции <tex>F </tex> и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dots, f_nf_{n-1}</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n > 0</tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение, и теорема доказана. Значит уравнение <tex>(1)</tex> имеет однозначное решение для каждого <tex>f_0</tex>.

[[Категория: КомбинаторикаПроизводящие функции]]