Интегрирование/дифференцирование производящих функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции: маленькие изменения)
(Пример 3)
 
(не показано 9 промежуточных версий 2 участников)
Строка 20: Строка 20:
 
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
 
Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.
  
:<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - A(s) </tex>
+
:<tex> \int\limits A'(s) = A(s) - a_0</tex>.
  
 
===Замечание===
 
===Замечание===
Строка 33: Строка 33:
 
==Примеры==
 
==Примеры==
  
===Пример 1===
+
===Пример <tex>1</tex>===
  
 
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию
 
Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию
Строка 48: Строка 48:
 
:<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln \dfrac{1}{1 - s} = s^{-1} ((s - 1) \ln \dfrac{1}{1 - s} + s) </tex>.
 
:<tex> f(s) = s^{-2} \int\limits \ln \dfrac{1}{1 - s} = s^{-1} ((s - 1) \ln \dfrac{1}{1 - s} + s) </tex>.
  
===Пример 2===
+
===Пример <tex>2</tex>===
  
 
Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение:
 
Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение:
Строка 56: Строка 56:
 
:<tex> g_n = g_{n - 1} + 2 g_{n - 2} + (-1)^n</tex>
 
:<tex> g_n = g_{n - 1} + 2 g_{n - 2} + (-1)^n</tex>
  
Умножим обе части всех равенств на z в соответствующей степени и просуммируем:
+
Умножим обе части всех равенств на <tex>z</tex> в соответствующей степени и просуммируем:
  
 
:<tex> z^0 g_0 = 1</tex>
 
:<tex> z^0 g_0 = 1</tex>
Строка 85: Строка 85:
 
:<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex>
 
:<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}</tex>
  
Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придется чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:
+
Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придётся чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:
  
 
:<tex>\dfrac{1}{(1 + z)^2} = (- \dfrac{1}{1 + z})' = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} z^n)' = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} n z^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n</tex>
 
:<tex>\dfrac{1}{(1 + z)^2} = (- \dfrac{1}{1 + z})' = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} z^n)' = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} n z^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n</tex>
Строка 93: Строка 93:
 
<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n - \dfrac{1}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n + \dfrac{7}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} 2^n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})) z^n</tex>
 
<tex>G(z) = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n - \dfrac{1}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n + \dfrac{7}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} 2^n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})) z^n</tex>
  
Мы искали G(z) в виде <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n</tex>, значит
+
Мы искали <tex>G(z)</tex> в виде <tex>G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n</tex>, значит
  
 
:<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
 
:<tex>g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})</tex>
  
===Пример 3===
+
===Пример <tex>3</tex>===
  
 
Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся [[Производящая функция#Приложения | разложением экспоненты]]:
 
Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся [[Производящая функция#Приложения | разложением экспоненты]]:
Строка 103: Строка 103:
 
:<tex>e^z = \sum\limits_{z = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} z^n</tex>
 
:<tex>e^z = \sum\limits_{z = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} z^n</tex>
  
Разложение экспоненты начинается с 1, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в 1:
+
Разложение экспоненты начинается с <tex>1</tex>, поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в <tex>1</tex>:
  
:<tex>ln(1 + t) = l_1 t + l_2 t^2 + l_3 t^3 + \dots</tex>
+
:<tex>\ln(1 + t) = l_1 t + l_2 t^2 + l_3 t^3 + \dots</tex>
  
(свободный член в разложении равен <tex>0</tex>, поскольку <tex>ln(1) = 0</tex>). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают <tex>1</tex>. Поскольку <tex>\dfrac{d}{ds} e^s = e^s</tex>, получаем
+
(свободный член в разложении равен <tex>0</tex>, поскольку <tex>\ln(1) = 0</tex>). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают <tex>1</tex>. Поскольку <tex>\dfrac{d}{ds} e^s = e^s</tex>, получаем
  
:<tex>\dfrac{d}{dt} ln(1 + t) = \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - \dots</tex>,
+
:<tex>\dfrac{d}{dt} \ln(1 + t) = \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - \dots</tex>,
  
 
откуда, интегрируя,
 
откуда, интегрируя,
  
:<tex>ln(1 + t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
+
:<tex>\ln(1 + t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
  
 
Чаще используется следующий вариант:
 
Чаще используется следующий вариант:
  
:<tex>-ln(1 - t) = ln \dfrac{1}{1 - t} = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
+
:<tex>-\ln(1 - t) = \ln \dfrac{1}{1 - t} = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots</tex>
  
 
==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
 
==Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции==
Строка 145: Строка 145:
 
:<tex>(F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t = (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots) \rightarrow F_{01} f_0</tex>
 
:<tex>(F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t = (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots) \rightarrow F_{01} f_0</tex>
  
Возьмем со n-го слагаемого:
+
Возьмем с <tex>n</tex>-го слагаемого:
  
 
:<tex>(F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n = (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots)^n \rightarrow F_{0n} f_0^n</tex>
 
:<tex>(F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n = (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots)^n \rightarrow F_{0n} f_0^n</tex>
Строка 161: Строка 161:
 
:<tex>n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)</tex>,
 
:<tex>n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)</tex>,
  
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции F и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dots, f_{n-1}</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n > 0</tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение, и теорема доказана. Значит уравнение <tex>(1)</tex> имеет однозначное решение для каждого <tex>f_0</tex>.
+
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции <tex>F</tex> и коэффициентов <tex>f_0, f_1, \dots, f_{n-1}</tex> функции <tex>f</tex>. При каждом <tex>n > 0</tex> уравнение <tex>(2)</tex> имеет единственное решение. Значит уравнение <tex>(1)</tex> имеет однозначное решение для каждого <tex>f_0</tex>.
  
 
}}
 
}}
Строка 178: Строка 178:
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика]]
+
[[Категория: Производящие функции]]

Текущая версия на 19:28, 17 апреля 2018

Дифференцирование и интегрирование производящих функций[править]

Определение:
Пусть [math]A(s) = a_0 + a_1 s + a_2 s^2 + \dots[/math] производящая функция.

Производной этой функции называется функция

[math]A'(s) = a_1 + 2 a_2 s + 3 a_3 s^2 + \dots + n a_n s^{n-1} + \dots[/math]

Интегралом называется функция

[math]\int\limits A(s) = a_0 s + a_1 \dfrac{s^2}{2} + a_2 \dfrac{s^3}{3} + \dots + a_n \dfrac{s^{n+1} }{n + 1} + \dots[/math]


Операция дифференцирования обратна операции интегрирования:

[math](\int\limits A(s))' = A(s)[/math].

Операция же интегрирования производной приводит к функции с нулевым свободным членом, и поэтому результат, вообще говоря, отличается от исходной функции.

[math] \int\limits A'(s) = A(s) - a_0[/math].

Замечание[править]

Утверждение:
Для функций, представимых в виде степенных рядов, формула для производной соответствует обычной. Формула для интеграла соответствует значению интеграла с переменным верхним пределом
[math] \int\limits A(s) = \int\limits_{0}^{s} A(\xi) d \xi [/math].

Примеры[править]

Пример [math]1[/math][править]

Последнее замечание позволяет подсчитывать (т. е. выражать в терминах элементарных) производящие функции для большого числа разнообразных последовательностей. Вычислим, например, производящую функцию

[math] f(s) = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} s + \dfrac{1}{3 \times 4} s^2 + \dots + \dfrac{1}{(n + 1)(n + 2)} s^n + \dots [/math]

Умножая функцию [math] f [/math] на [math] s^2 [/math] и дифференцируя, получаем

[math](s^2 f(s))' = s + \dfrac{1}{2} s^2 + \dfrac{1}{3} s^3 + \dots = \ln \dfrac{1}{1 - s}[/math],

откуда

[math] f(s) = s^{-2} \int\limits \ln \dfrac{1}{1 - s} = s^{-1} ((s - 1) \ln \dfrac{1}{1 - s} + s) [/math].

Пример [math]2[/math][править]

Используя только что полученные знания о дифференцировании и интегрировании производящих функций, попробуем решить следующее рекуррентное уравнение:

[math] g_0 = 1[/math]
[math] g_1 = 1[/math]
[math] g_n = g_{n - 1} + 2 g_{n - 2} + (-1)^n[/math]

Умножим обе части всех равенств на [math]z[/math] в соответствующей степени и просуммируем:

[math] z^0 g_0 = 1[/math]
[math] z^1 g_1 = z[/math]
[math] z^n g_n = z^n g_{n-1} + 2 z^n g_{n-2} + (-1)^n z^n[/math]
[math] g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = 1 + z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n + 2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n [/math]

Левая часть [math] G(z) = g_0 + g_1 z + \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n [/math] представляет собой производящую функцию в бесконечном виде.

Попытаемся выразить правую часть через [math]G(z)[/math]. Рассмотрим каждое слагаемое:

[math]\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^n = z \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 1} z^{n - 1} = z (G(z) - g_0) = z(G(z) - 1)[/math]
[math]\sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^n = z^2 \sum\limits_{n = 2}^{\infty} g_{n - 2} z^{n - 2} = z^2 G(z)[/math]
[math]\sum\limits_{n = 2}^{\infty} (-1)^n z^n = z^2 - z^4 + z^6 - z^8 + \dots = 1 - z + z^2 -z^4 + z^6 -z^8 + \dots -1 + z = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n - 1 + z = \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z[/math]

Составляем уравнение:

[math]G(z) = 1 + z + z(G(z) - 1) + 2 z^2 G(z) + \dfrac{1}{1 + z} - 1 + z[/math]
[math]G(z) (1 - z - 2 z^2) = \dfrac{1}{1 + z} + z[/math]
[math]G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z) (1 - z - 2 z^2)}[/math]
[math]G(z) = \dfrac{1 + z + z^2}{(1 + z)^2 (1 - 2 z)}[/math]

Это и есть производящая функция для заданного рекуррентного уравнения. Раскладывая её на простейшие дроби (например, методом неопределенных коэффициентов или методом подстановки различных значений [math]z[/math]), получаем:

[math]G(z) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{(1 + z)^2} - \dfrac{1}{9} \times \dfrac{1}{1 + z} + \dfrac{7}{9} \times \dfrac{1}{1 - 2 z}[/math]

Второе и третье слагаемые легко раскладываются в степенной ряд, а вот с первым придётся чуть повозиться. Используя правило дифференцирования производящих функций имеем:

[math]\dfrac{1}{(1 + z)^2} = (- \dfrac{1}{1 + z})' = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} z^n)' = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n + 1} n z^{n - 1} = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n[/math]

Собственно всё. Раскладываем каждое слагаемое в степенной ряд и получаем ответ:

[math]G(z) = \dfrac{1}{3} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n (n + 1) z^n - \dfrac{1}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (-1)^n z^n + \dfrac{7}{9} \sum\limits_{n = 0}^{\infty} 2^n z^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} (\dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})) z^n[/math]

Мы искали [math]G(z)[/math] в виде [math]G(z) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} g_n z^n[/math], значит

[math]g_n = \dfrac{7}{9} 2^n + (-1)^n (\dfrac{1}{3} n + \dfrac{2}{9})[/math]

Пример [math]3[/math][править]

Вычислим обратную функцию к экспоненте. Для этого мы воспользуемся разложением экспоненты:

[math]e^z = \sum\limits_{z = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} z^n[/math]

Разложение экспоненты начинается с [math]1[/math], поэтому аргумент логарифма нужно сдвинуть в [math]1[/math]:

[math]\ln(1 + t) = l_1 t + l_2 t^2 + l_3 t^3 + \dots[/math]

(свободный член в разложении равен [math]0[/math], поскольку [math]\ln(1) = 0[/math]). Для вычисления коэффициентов разложения логарифма воспользуемся тем, что производная функции и обратной к ней в произведении дают [math]1[/math]. Поскольку [math]\dfrac{d}{ds} e^s = e^s[/math], получаем

[math]\dfrac{d}{dt} \ln(1 + t) = \dfrac{1}{1 + t} = 1 - t + t^2 - t^3 + t^4 - \dots[/math],

откуда, интегрируя,

[math]\ln(1 + t) = t - \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 - \dfrac{1}{4}t^4 + \dots[/math]

Чаще используется следующий вариант:

[math]-\ln(1 - t) = \ln \dfrac{1}{1 - t} = t + \dfrac{1}{2}t^2 + \dfrac{1}{3}t^3 + \dfrac{1}{4}t^4 + \dots[/math]

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений на производящие функции[править]

Теорема (О существовании и единственности решения):
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
[math]f'(s) = F(s, f(s)) \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (1)[/math]
на производящую функцию [math]f(s)[/math], где [math]F = F(s, t)[/math] производящая функция двух переменных, являющаяся многочленом по [math]t[/math] (т.е. степень [math]F[/math] по [math]t[/math] конечна). Тогда для каждого [math]f_0[/math] уравнение [math](1)[/math] имеет единственное решение, удовлетворяющее условию [math]f(0) = f_0[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Доказательство проводится обычным способом последовательного нахождения коэффициентов функции [math]f[/math]. Пусть степень [math]F[/math] по [math]t[/math] равна [math]n[/math] и

[math]F(s, t) = (F_{00} + F_{10} s + F_{20} s^2 + \dots) + (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t + \dots + (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n, f(s) = f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots[/math]

Приравнивая коэффициенты при [math]s^0[/math] в левой и правой частях уравнения [math](1)[/math]

Возьмем с первого слагаемого:

[math](F_{00} + F_{10} s + F_{20} s^2 + \dots) \rightarrow F_{00}[/math]

Возьмем со второго слагаемого:

[math](F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) t = (F_{01} + F_{11} s + F_{21} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots) \rightarrow F_{01} f_0[/math]

Возьмем с [math]n[/math]-го слагаемого:

[math](F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) t^n = (F_{0n} + F_{1n} s + F_{2n} s^2 + \dots) (f_0 + f_1 s + f_2 s^2 + \dots)^n \rightarrow F_{0n} f_0^n[/math]

Итого выходит:

[math]f_1 = F_{00} + F_{01} f_0 + \dots + F_{0n} f_0^n[/math]

Аналогично, равенство коэффициентов при [math]s^1[/math] дает

[math]2 f_2 = F_{10} + F_{01} f_1 + F_{11} f_0 + \dots + F_{0n} f_0^{n - 1} f_1 + F_{1n} f_0^n[/math]

Вообще, [math]f_n[/math] находится из уравнения

[math]n f_n = \dots \text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } (2)[/math],
где точками обозначен многочлен от коэффициентов функции [math]F[/math] и коэффициентов [math]f_0, f_1, \dots, f_{n-1}[/math] функции [math]f[/math]. При каждом [math]n \gt 0[/math] уравнение [math](2)[/math] имеет единственное решение. Значит уравнение [math](1)[/math] имеет однозначное решение для каждого [math]f_0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Ландо С. К., Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2007. — 144с. ISBN 978-5-94057-042-4