419
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Интервальная арифметика''' — математическая структураспособ работы с floating-point арифметикой, которая который для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Данная математическая модель удобна Этот способ удобен для работы с величинами, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
== Операции над интервалами ==
Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы <tex> [a, b]\ (a \leqslant b) </tex>. Операции над ними определяются следующим образом:
* Сложение: <tex> [a, b] + [c, d] = [a + \underline{\oplus} c, b + \overline{\oplus} d] </tex>* Вычитание: <tex> [a, b] - [c, d] = [a - \underline{\ominus} d, b - \overline{\ominus} c] </tex>* Умножение: <tex> [a, b] \times [c, d] = [\min(aca \underline{\otimes} c, ada \underline{\otimes} d, bcb \underline{\otimes} c, bdb \underline{\otimes} d), \max(aca \overline{\otimes} c, ada \overline{\otimes} d, bcb \overline{\otimes} c, bdb \overline{\otimes} d)] </tex>* Деление: <tex> [a, b] / [c, d] = [\min(a/\underline{\oslash} c, a/\underline{\oslash} d, b/\underline{\oslash} c, b/\underline{\oslash} d), \max(a/\overline{\oslash} c, a/\overline{\oslash} d, b/\overline{\oslash} c, b/\overline{\oslash} d)] </tex> Здесь и далее <tex> \underline{\odot} </tex> и <tex> \overline{\odot} </tex> — выполнение операции <tex> \odot </tex> по правилам вещественной арифметики с округлением в меньшую и большую сторону соответственно.
Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.
Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные == Применение в вычислительной геометрии == Допустим, нам нужно точно определить знак некоторого выражения (это может потребоваться, например, при вычислении предиката [[Предикат "левый поворот" |"левый поворот"]]). Будем использовать для его вычисления интервальную арифметику. Все исходные переменные, входящие в него, будут вырожденными интервалами. При выполнении одной из элементарных операций, описанных выше определения совпадают , будем вычислять нижнюю границу с классическими арифметическими действиямиокруглением вниз, а верхнюю — с округлением вверх. Из-за погрешностей, возникающих при округлении вещественных чисел, истинные значения операций нам неизвестны, но они обязательно будет содержаться в посчитанных интервалах. Если левая и правая границы интервала для всего выражения оказались одного знака, то и само выражение однозначно будет иметь тот же знак. В противном случае требуются дополнительные действия. В Microsoft Visual C++ и GCC режим округления и другие настройки вещественной арифметики можно изменить с помощью функции <tt>_controlfp</tt> (MSDN рекомендует использовать более безопасную версию <tt>_controlfp_s</tt>, но GCC ее не поддерживает). == Проблемы и ограничения == Переключение режима округления в процессоре является довольно длительной операцией, поэтому, если использовать его в каждой элементарной операции, это может сильно замедлить вычисления. Впрочем, эту проблему можно легко решить. Пусть мы вычисляем операцию <tex>l = a \underline{\odot} b </tex>, тогда <tex> r = a \overline{\odot} b </tex> можно вычислить, заменив знаки операндов на противоположные и восстановив корректный знак <tex> a \odot b </tex>. Например, для сложения, <tex> a \overline{\oplus} b = \ominus ((\ominus a) \underline{\oplus} (\ominus b)) </tex> Значит, можно включить округление вниз до работы с интервалами и вернуть стандартный режим после нее, тогда много переключений не потребуется. Предполагается, что мы можем управлять округлением в операциях над вещественными числами. Стандарт IEEE 754 гарантирует такую возможность, но не все современные языки/архитектуры его выполняют. Например, согласно [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/JAVAhurt.pdf этому] материалу, вещественная арифметика в Java не соответствует стандарту IEEE 754 (в частности, не позволяет указывать правила округления). Поэтому на Java нельзя реализовать требуемую интервальную арифметику с использованием только примитивных типов double/float. == Ссылки ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Интервальная_арифметика Интервальная арифметика (Википедия)] [[Категория: Вычислительная геометрия]]
