Интервальная арифметика

Интервальная арифметика — математическая структура, которая для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Данная математическая модель удобна для работы с величинами, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.

Операции над интервалами

Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы [math] [a, b]\ (a \leqslant b) [/math]. Операции над ними определяются следующим образом:

• Сложение: [math] [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] [/math]
• Вычитание: [math] [a, b] - [c, d] = [a - d, b - c] [/math]
• Умножение: [math] [a, b] \times [c, d] = [\min(ac, ad, bc, bd), \max(ac, ad, bc, bd)] [/math]
• Деление: [math] [a, b] / [c, d] = [\min(a/c, a/d, b/c, b/d), \max(a/c, a/d, b/c, b/d)] [/math]

Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.

Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные выше определения совпадают с классическими арифметическими действиями.