|
|
| (не показано 8 промежуточных версий 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | ==Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков==
| + | #перенаправление [[Исчисление предикатов#Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков]] |
| − | | |
| − | Во многих теоремах присутствуют утверждения с кванторами «для всех» и «существует». От того, в каком порядке кванторы входят в утверждение, зависит его смысл. Часто оказывается полезным представлять утверждения с кванторами как «игру», в которой участвуют два игрока — «для всех» и «существует». Есть выражение <tex>\exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n = \Psi(x_1,\dots ,x_n)</tex>. Игроки поочередно выбирают значения параметров. Каждый игрок выбирает значение в зависимости от предыдущих ходов. Цель игрока «существует» делать такие ходы, чтобы в конце получилась истина. А цель игрока «для всех» делать такие ходы, чтобы в конце получилась ложь.
| |
| − | | |
| − | Итак, есть выражение
| |
| − | | |
| − | {{Теорема
| |
| − | |statement=
| |
| − | <tex>\Psi(x_1,\dots ,x_n) = \exists x_1 \forall x_2 \exists x_3 \dots Q x_n</tex> {{---}} выражение.
| |
| − | # Если выражение <tex>\Psi</tex> истинно, то у игрока «существует» есть такие ходы, чтобы прийти к победе.
| |
| − | # Если же выражение <tex>\Psi</tex> ложно, то у игрока «для всех» есть такие ходы, чтобы прийти к победе.
| |
| − | |proof=
| |
| − | # Доказательство по индукции.
| |
| − | #* '''База:''' квантор один.
| |
| − | #*: Если единственный квантор {{---}} «любой», то какой бы параметр не поставил игрок «для всех» выражение будет истинно по условию теоремы.
| |
| − | #*: Если единственный квантор {{---}} «существует», то, по условию, есть такой параметр, что выражение будет истинно. Его и подставит игрок «существует», после чего сразу победит.
| |
| − | #* '''Переход:''' теорема верна, когда выражение <tex>\Psi</tex> состоит не более, чем из <tex>n-1</tex> кванторов, докажем, что она верна и для выражений, состоящих из <tex>n</tex> кванторов.
| |
| − | #*: Пусть первый квантор «существует», тогда <tex>\Psi = \exists x_1 \Phi</tex>. По условию теоремы найдётся такой параметр <tex>x_1</tex>, что <tex>\Phi</tex> истинно. Но выражение <tex>\Phi</tex> состоит из <tex>n-1</tex> квантора, значит, для <tex>\Phi</tex> есть набор ходов игрока «существует», при котором он выигрывает. С выбранным <tex>x_1</tex> и полученным набором ходов мы получаем выигрышную стратегию.
| |
| − | #*: Пусть теперь первый квантор «для всех», тогда <tex>\Psi = \forall x_1 \exists x_2 \Phi</tex>. По условию теоремы для любого параметра <tex>x_1</tex> найдётся такой параметр <tex>x_2</tex>, что <tex>\Phi</tex> истинно. Но выражение <tex>\Phi</tex> содержит <tex>n-2</tex> квантора, значит, для <tex>\Phi</tex> есть набор ходов игрока «существует», при котором он выигрывает. С выбранным <tex>x_2</tex> и полученным набором ходов мы получим выигрышную стратегию.
| |
| − | # Доказательство существования выигрышной стратегии для игрока «для всех» при ложном выражении <tex>\Psi</tex> аналогично.
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | [[Категория: Теория формальных языков]]
| |
| − | [[Категория: Автоматы и регулярные языки]]
| |
