Изменения
→Алгоритм
== Алгоритм ==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> T </tex> - — дерево [[Обход в глубину, цвета вершин | обхода в глубину графа ]] <tex> G</tex>. Ребро <tex> (u, v) </tex> является мостом тогда и только тогда, когда <tex> (u, v) \in T</tex> и из вершины <tex> v</tex> и любого ее потомка нет обратного ребра в вершину <tex> u</tex> или предка <tex> u </tex>
|proof=
<tex> \Leftarrow</tex> <br>
Удалим <tex> (u, v)</tex> из <tex> G</tex> . Докажем, что мы не сможем достичь ни одного из предков <tex> v </tex> (в частности <tex> u </tex>). Докажем этот факт от противного. Пусть это не так, и <tex> w</tex> - — предпоследняя вершина на пути от <tex> v</tex> до ее предка <tex>x </tex>. Очевидно, <tex> (w, x)</tex> не ребро дерева (в силу единственности пути в дереве). Если <tex> (w, x)</tex> - — обратное ребро, то это противоречит условию теоремы, т.к. так как <tex> x</tex> - — предок <tex> u</tex> . Следовательно мы не достигнем предков <tex>v</tex>, а значит количество компонент связности увеличилось, поэтому ребро <tex>(u, v)</tex> является мостом.<br>
<tex> \Rightarrow</tex> <br>
Пусть существует удовлетворяющее условию обратное ребро <tex>(x, w)</tex>. Тогда <tex>(u, v)</tex> лежит на цикле <tex>x \rightsquigarrow v \rightarrow u \rightsquigarrow w \rightarrow x</tex> и не может быть мостом.
}}
==== Функция <tex>ret(v)</tex> ====
Определим функцию <tex>ret(v)</tex>, где <tex>v \in V</tex>, как минимум из следущих величин <br>
* <tex>enter(v)</tex> [[Использование обхода в глубину для топологической сортировки | время входа в вершину <tex>v </tex> ]] <br>
* <tex>enter(x)</tex>, где <tex>x</tex> — потомок <tex>v</tex> <br>
* <tex>enter(w)</tex>, где <tex>(w, x)</tex> — обратное ребро, а <tex>w</tex> — потомок <tex>v</tex> (в нестрогом смысле) <br>
===Лемма===
{{Лемма
|statement = Ребро <tex>(u, v)</tex> является мостом тогда и только тогда, когда <tex>(u, v)</tex> принадлежит дереву обхода в глубину и <tex>ret(v) > enter(u)</tex>
| proof = Рассмотрим вершину <tex>v</tex> или её потомка. Из нее есть обратное ребро в предка <tex>v</tex> тогда и только тогда, когда найдется такой сын <tex>t</tex>, что <tex>ret[t] \le enter[v]</tex>. Если <tex>ret[t] = enter[v]</tex>, то найдется обратное ребро, приходящее точно в <tex>v</tex>. Если же <tex>ret[t] < enter[v]</tex>, то это означает наличие обратного ребра в какого-либо предка вершины <tex>v</tex>.
Таким образом, если для текущего ребра <tex>(v, t)</tex> (принадлежащего дереву поиска) выполняется <tex>ret[t] > enter[v]</tex>, то это ребро является мостом; в противном случае оно мостом не является.
}}
{{Утверждение
|statement =
<tex>ret(v)</tex> = <tex>\min: (</tex> <br> <tex>enter(v) </tex> <br>, <tex>enter(p)</tex>, <tex>ret(v, pu)</tex> <tex>)</tex> - обратное ребро , где <br><tex>ret(uv, p)</tex>— обратное ребро, <br> <tex>(v, u)</tex> - — ребро дерева
|proof =
}}
=== Псевдокод ===
'''function''' dfs(v):
time = time + 1
enter[v] = time
ret[v] = time
'''for''' всех u смежных с v
'''if''' (v, u) — обратное ребро
ret[v] = min(ret[v], enter[u])
'''if''' вершина u — белая
dfs(u)
ret[v] = min(ret[v], ret[u])
'''if''' ret[u] > enter[v]
ребро (v, u) — мост
==См. также==
*[[Обход в глубину, цвета вершин]]
*[[Лемма о белых путях]]
==Источники информации==
* [http://e-maxx.ru/algo/bridge_searching MAXimal :: algo :: Поиск мостов]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Bridge_(graph_theory) Wikipedia — Bridge]
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005| Визуализация поиска мостов]
* ''Седжвик Р.'' Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах. Пер. с англ. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Обход в глубину]]
